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幸運草

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問題66
  • 高斯定理證明(有兩小題)?

    一個半徑為R 且球心在原點的球面可利用兩個變數φ 和θ 來進行參數化表示,其中

    0 ≤θ ≤ 2π ,為方位角,由正東(+ x軸)開始往逆時針方向增加,0 ≤φ ≤π 為天頂角,

    朝正上方為0 度,水平為90 度,朝正下方為180 度。

    此外:F=xi yj zk (此處F.x.y.z上方皆有向量符號)

    (1)求出此球面上法線向量N(此處N上方有向量符號)的表示式,以及在(0,R,0)這個點的法線向量。

    (2)用此設定驗證Gauss theorem

    (注意∫(sin^(n)ax) dx=-[(sin^(n-1)ax*cosax)/na]+{[(n-1)/n]∫(sin^(n-2)ax) dx} )

    1 個解答數學4 年前
  • 微積分證明(角度極小時,證明等式)?

    當正數α與β都極小時,請求出下列近似式

    (1/cosα)*(1-cosβ)約等於(β^(2)/2)+(α^(2)*β^(2)/4)

    1 個解答數學4 年前
  • Attachment image

    偏微分方程解邊界值問題?

    想麻煩回答的大大提供詳解,只知道好像跟羅士培波(Rossby wave)有關。

    2 個解答數學5 年前
  • 求體積分(橢圓球體)

    計算體積分∫∫∫ (下標E) xyz dv ,其中E為橢圓球體(x^2/a^2)+(y^2/b^2)+(z^2/c^2)<=1在第一卦限(x>=0、y>=0、z>=0)之部分

    2 個解答數學5 年前
  • 分離變數法求解偏微分方程

    用分離變數法求:

    ∂^2 y/∂t^2 = ∂^2 y/∂x^2 , 0<x<1 , t>0

    y(0,t)=y(1,t)=0 , t>0

    y(x,0)=x(x^2-1) , ∂y/∂t(x,0)=1, 0<x<1

    的解

    1 個解答數學5 年前
  • 積分計算兩題

    1.∫(從1到2) (x^3+2/x) dx

    2.∫(從0到π/4) [cos(x) sin^2(x) +e^(2x)] dx

    1 個解答數學5 年前
  • 空間及向量微積分計算兩題

    1. 設空間有一圓螺旋曲線,向量r(t)=a cost i+a sint j+ct k (i.j.k皆為向量)

    (1)求此曲線從(a,0,0)至(a,0,2πc)的長度

    (2)求曲線在(a,0,2πc)的單位切向量

    2.設C表示球面x^2+y^2+z^2=4a^2與圓柱面(x-a)^2+y^2=a^2相交所成的曲線,其中a>0為一常數。

    (1)求C的參數方程式?

    (2)證明C的長度=8a∫(從0到π/2) (1+cost^2)^(1/2) dt

    麻煩回答的大大提供詳細的計算過程,感激不盡 !!!

    1 個解答數學5 年前
  • 使用參數變換法解微分方程式

    使用參數變換法解下列微分方程式:

    1.y''-4y=cos3x+sin2x

    若已知yh=c1*e^(2x)+c2*e(-2x)

    (c1、c2為常係數,yh為齊次解)

    使用參數變換法求特解(yp)?

    ans: y=yh+yp=c1*e^(2x)+c2*e(-2x)-[(1/13)cos3x]-[(1/8)sin2x]

    2.y''-4y=cos2x+sin2x

    若已知yh=c1*cos2x+c2*sin2x

    (c1、c2為常係數,yh為齊次解)

    使用參數變換法求特解(yp)?

    ans: y=yh+yp=c1*cos2x+c2*sin2x+[(x/4)sin2x]-[(x/4)cos2x]

    2 個解答數學6 年前
  • 向量證明、線積分

    1.設f.g為二階可微分的純量值函數,證明:

    div(∇(fg)) =f div (∇g) +g div (∇f) +2(∇f)●(∇g)

    2.利用 Stokes定理,求線積分

    ∫ 下標c -3y dx +2x dy +z^2 dz

    其中c表示由點(1,0,0)至點(0,2,0)至點(0,0,3)再回到點(1,0,0)所成有向的三角形曲線

    1 個解答數學6 年前
  • 向量參數式與證明

    1.設c表示球面x^2+y^2+z^2=4a^2與圓柱面(x-a)^2+y^2=a^2相交所成的曲線,其中a>0為一常數,求c的參數方程式

    2.呈上題,證明c的長度為8a ∫(從0積分到π/2) (√ 1+cost^2) dt

    1 個解答數學6 年前
  • 向量化簡3題

    令Φ為一純量場函數,V為一向量場函數,令∇Φ、∇●V、∇XV 分別表示其梯度、散度及旋度。請化簡下列表示式至最簡形式:

    1. ∇X∇Φ

    2. ∇●(∇XV)

    3. ∇(∇●V)-∇X(∇XV)

    不知道這題是否是用張量(tensor notation)解? 還是其他方法?

    不過無論哪種方法,還請回答得大大提供詳細解答.感激不盡 !!!!!

    1 個解答數學6 年前
  • 高斯散度定理證明

    令E為橢球[(x^2) / (a^2)] + [(y^2) / (b^2)] + [(z^2) / (c^2)] =1 ,平面z=0及z=b (b<c)所包含之區域,S為E之表面,向量n為S上外向單位法向量,α β γ 分別為向量n至x,y,z三座標軸之夾角。試利用散度定理求下列曲面積分:

    ∫∫下標S [(x^2*cosα)+(y^2*sinβ)+(z^2*sinγ) dσ

    1 個解答數學6 年前
  • 向量-通量、保守場計算2題

    1.假設S表示為z=9-x^2-y^2曲面在z>=0的部分,令F(x,y,z)=(3x,3y,z),計算F(x,y,z)經過S的通量(flux)

    2.向量f(x,y)=(1+2xy+ln x) i + (x^2) j ,說明為何向量f為一保守向量場? 並尋求一函數Φ(x,y),使得∇Φ=向量f

    1 個解答數學6 年前
  • 向量定理運算(5小題)

    由(0,0)到(3,9)有兩條路徑,路徑1是y=3x,路徑2是y=x^2,現在有兩個向量場:向量場F1=(3x+y) i + (x+2y) j 及 向量場F2=(x+y) i + (2x-y) j ,請問:

    (1)哪一個向量場是保守的? (也就是在兩點之間沿任意一條片段平滑曲線的線積分其結果不變) 請解釋您是如何判斷的?

    (2)請將保守的這個向量場分別沿路徑1與路徑2由(0,0)積分到(3,9),其結果為何? 是否合乎(1)中不受路徑影響的描述?

    (3)求出該保守向量場的位勢函數

    (4)利用此位勢函數計算中的線積分,其結果為何?

    (5)利用 Green’s theorem 計算由路徑1與路徑2所圍成區域的面積。

    1 個解答數學6 年前
  • 向量微積分與向量運算

    1.求線積分∫下標c [(x^2+2y)dx+(x+3y^2)dy],並驗證Green’s theorem,此處c為單位圓x^2+y^2=1

    2.向量A=3i-j+2k, 向量B=i+j+4k,求出:

    (1)此兩向量構成之三角形的面積

    (2)此兩向量的夾角

    1 個解答數學6 年前
  • 向量運算(兩題)

    1. 已知F(x,y)=(x)(y^2) i + (x^2)(y) j (前式中的i、j、k為座標軸),

    C:r(t)=(t+sin(1/2)πt,t+cos(1/2)πt),0<=t<=1,請回答下列問題:

    (1)求滿足F=∇f的函數f

    (2)求∫ 下標c F ●dR

    2.令f(r)=(1)/(r^3), r為一向量場,其中r為位置向量,r為其長度,證明∫∫下標s f(r) ●n dA=4π,其中s為一包圍原點之封閉曲面,dA為其面積元素、n為其法向量

    1 個解答數學6 年前
  • 史托克定理

    若F=6y i+2xz j-z^3 k(前式中的i、j、k為座標軸),S為x^2+y^+z^2=4之半球面,試求:

    ∫ ∫ 下標s (∇ x F) ●n dA

    麻煩回答的大大"利用史托克定理,計算線積分∫下標c F●dR " ,感激不盡 !!!!

    1 個解答數學6 年前
  • 微積分極限計算的疑問

    設f(x)=(1/3)(x^3)+x-6,求

    lim f(-2+5h)-f(-2+2h) / h

    h->0

    ans: 15 (答案僅供參考)

    我看過的算法是將f(x)中的x分別代-2+5h及-2+2h再套入

    lim f(-2+5h)-f(-2+2h) / h

    h->0

    去解,但這樣要算很久,這題型式看起來像要考均值定理還是微分基本定理的應用.所以想問大大除了直接帶入之外還有其他作法嗎?

    6 個解答數學6 年前
  • 微積分求面積、驗證級數斂散性

    1.求橢圓[(x^4)/4]+[(y^2)/9]=1之內接最大長方形的面積

    2.求由圖形y=x^2+2x和y=-x+4在區間[-4,2]上所圍區域的面積

    3.試證級數Σ(k=1到00) 1/[(k+4)(k+5)] 收斂,並求其和

    4 個解答數學6 年前
  • 微積分極限連續與切線

    .................x/[(√x+1)-1] (x≠0) (x+1整個在根號內,不是只有x在根號內)

    1.設f(x)={

    .................0 (x=0)

    (............ 純粹為調整格式,無任何意義)

    (1)極限lim f(x) 是否存在? 若存在,求其值

    ...........x->0

    (2)lim f(x) = f(0) 是否成立?

    ....x->0

    (3)y=f(x) 的圖形在x=0處是否連續(說明理由)? 若不是,應把f在x=0處的值改為多少,才能使圖形在x=0處連續

    2.已知點P(2,1)為曲線y=f(x) =x^3-3x^2+5上之一點。試求:

    (1)以點P (2,1)為切點的切線L的方程式

    (2)切線L與此曲線是否還有其他交點

    6 個解答數學6 年前