﹢小ㄒ﹒°○ 發問時間: 科學數學 · 2 0 年前

已知平面座標上三點,求外心座標?面積?

如題...

若已知平面座標上三點:

A(x,y) B(p,q) C(m,n)

則三角形ABC之外心座標?

又其面積為何??

  {以 x,y,p,q,m,n表示}

【ps】符號是多了點...><"不過我不喜歡數字咩~!!

    希望能有詳細的解說唷…麻煩高手們多多回答囉!

3 個解答

評分
  • 2 0 年前
    最佳解答

    外心是三邊中垂線的交點

    所以我求出兩邊的中垂線方程式,然後解聯立,算出外心座標

    BC直線方程式:(n-q) / (m-p) = (Y-q) / (X-p)

    → (n-q)X-(m-p)Y = pn-qm

    中垂線→ (m-p)X-(n-q)Y = (m^2-n^2+q^2-p^2) / 2 (把中點座標帶入算得知)

    AB直線方程式:(y-q) / (x-p) = (Y-q) / (X-p)

    → (y-q)X-(x-p)Y = py-qx

    中垂線→ (x-p)X-(y-q)Y = (x^2-y^2+q^2-p^2) / 2

    (m-p)X-(n-q)Y = (m^2-n^2+q^2-p^2) / 2 … (a式)

    (x-p)X-(y-q)Y = (x^2-y^2+q^2-p^2) / 2 … (b式)

    a式-b式(消Y) 解之得 X = (n-q)(x^2-y^2)+(q-y)(m^2-n^2)+(y-n)(p^2-q^2)

    / 2[(n-q)x+(p-m)y+(qm-np)]

    a式-b式(消X) 解之得 Y = (m-p)(x^2-y^2)+(p-x)(m^2-n^2)+(x-m)(p^2-q^2)

    / 2[(n-q)x+(p-m)y+(qm-np)]

    (X,Y) = 內心座標

    △面積 = 1/2 × 底 × 高

    = 1/2 × BC長 × A到BC之距(代"點到直線之距公式")

    = 1/2 × [(m-p)^2+(n-q)^2]^1/2 × ∣(n-q)x-(m-p)y-(pn-qm)∣

    / [(n-q)^2+(m-p)^2]^1/2

    = 1/2∣(n-q)x-(m-p)y-(pn-qm)∣

    參考資料:
  • 2 0 年前

    (1) 若已知平面座標上三點:

    A(x1,y1) B(x2,y2) C(x3,y3)

    令三角形ABC之外心座標O(a,b) ; 外接圓半徑R

    ==> 外接圓: (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2

    ==> x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 = R^2

    令 q = R^2 - a^2 - b^2............... [1]

    ==> x(2a) + y(2b) + (q) = (x^2 + y^2)..............[2]

    ABC座標帶入, 用Cramer公式解(把2a,2b,q當未知數帶Cramer公式):

    2a=

    |(x1^2 + y1^2) y1 1|

    |(x2^2 + y2^2) y2 1|

    |(x3^2 + y3^2) y3 1|

    ----------------------------

    | x1 y1 1 |

    | x2 y2 1 |

    | x3 y3 1 |

    2b=

    |x1 (x1^2 + y1^2) 1|

    |x2 (x2^2 + y2^2) 1|

    |x3 (x3^2 + y3^2) 1|

    ------------------------------

    | x1 y1 1 |

    | x2 y2 1 |

    | x3 y3 1 |

    外心座標(a,b)就是上兩式各除以2

    p.s. 另: 外接圓方程式也可以寫成

    | (x^2 + y^2) x y 1 |

    | (x1^2 + y1^2) x1 y1 1 | = 0

    | (x2^2 + y2^2) x2 y2 1 |

    | (x3^2 + y3^2) x3 y3 1 |

    (2) 若已知平面座標上三點:

    A(x1,y1) B(x2,y2) C(x3,y3)

    其面積為

    | x1 y1 1 |

    | x2 y2 1 |

    | x3 y3 1 | 的絕對值除以2

    證明在這裡---> http://www.jct.ac.il/science/math/MathAbundance/li...

    ----------<< 另外補充整理 >>------------

    (1) 外心座標(a,b)

    d1=AA內積=x1^2+y1^2

    d2=BB內積=x2^2+y2^2

    d3=CC內積=x3^2+y3^2

    寫成這樣比較好記

    2a=

    |d1 y1 1|

    |d2 y2 1|

    |d3 y3 1|

    ------------

    | x1 y1 1 |

    | x2 y2 1 |

    | x3 y3 1 |

    2b=

    |x1 d1 1|

    |x2 d2 1|

    |x3 d3 1|

    -------------

    | x1 y1 1 |

    | x2 y2 1 |

    | x3 y3 1 |

    外心座標 O(a,b) 就是上兩式各除以2

    (2) 垂心 H(p,q) 也有類似公式:

    d1'=BC內積=x2x3+y2y3

    d2'=CA內積=x1x3+y1y3

    d3'=AB內積=x2x1+y2y1

    寫成這樣比較好記

    -p=

    | d1' y1 1|

    | d2' y2 1|

    | d3' y3 1|

    -----------

    | x1 y1 1 |

    | x2 y2 1 |

    | x3 y3 1 |

    -q=

    |x1 d1' 1|

    |x2 d2' 1|

    |x3 d3' 1|

    -----------

    | x1 y1 1 |

    | x2 y2 1 |

    | x3 y3 1 |

    垂心座標 H(p,q) 就是上兩式各取負值

    2005-04-24 22:20:47 補充:

    從這個垂心座標 H(p,q)公式, 外心座標 O(a,b)公式,可以得到

    H+2O=3G

    也就是尤拉線性質

    2005-04-25 21:11:54 補充:

    我選我沒學過(試算出來後,上網查到解法的,老師從沒教過),但是"最容易記"的公式

    (好帥好美麗的一對公式, 一個叫Felix公式,一個叫Emily公式. I love them very much!!)

    ^__________^

  • 2 0 年前

    面積可用海龍公式(不過要學過向量):

    先算出三邊邊長

    AB:(x-p)平方+(y-q)平方,然後開根號──a

    BC:(p-m)平方+(q-n)平方,然後開根號──b

    CA:(m-x)平方+(n-y)平方,然後開根號──c

    (a+b+c)/2──s

    s(s-a)(s-b)(s-c),然後開根號及為所求。

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