Copestone 發問時間: 科學數學 · 2 0 年前

[高中數學]費馬最後定理的應用

利用費馬最後定理,找出下列方程y2 = x3 -432的所有整數解。

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11 個解答

評分
  • 2 0 年前
    最佳解答

    由費馬最後定理知(t-12)^3+(24-t)^3=x^3 只在t=12 or t=24有解

    而(t-12)^3+(24-t)^3=(6t-108)^2+432=(一個整數的平方)+432=x^3

    所以若題目有解,t=12 or t=24,此時x=12,y=36 or -36

    (應該還要再證明 6 | y 才完整,但是真的沒有辦法)

    參考資料: 出題者的提示
  • 2 0 年前

    費碼最後定理可以在直角座標上顯示嗎

  • 匿名使用者
    2 0 年前

    費碼最後定理要怎麼證明啊?

    就是:

    a^n + b^n = c^n,

    n>2,a.b.c≠0

    試證:a.b.c為何無整數解

  • 2 0 年前

    請問是哪一間高中的考題??

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  • 匿名使用者
    2 0 年前

    費馬最後定理 n=3 時,

    x^3 + y^3 = z^3 ,

    也就是說,x, y, z 三者中至少有一為零。

    但是這一題接不上x^3 + y^3 = z^3

    但如果用最簡單的方法來算就是

    x3-y2-432=0 y2=x3+ax2+bx+c

    (x-12)(y-36)=0

    x=12

    y=36

  • 2 0 年前

    呃!那請問你大學時期的同學大概都畢業多久了?

    現在的高中很少把較深入的數論納入課程教材

    除了少數學校附設的數理資優班以外,大多數高中不會多講費馬大定理

  • 2 0 年前

    y^2+216不為完全立方數,然後呢?我做不下去了。

  • 2 0 年前

    其實你只要說X^n+Y^n=Z^n

    當n大於2的時候沒有整數解,就比較容易看得懂了。

    你的解釋高中生也未必看得懂。

  • 2 0 年前

    就我所知,高中好像還不清楚什麼是"費馬最後定裡"耶!除非是現在的教育制度已經提升許多了........

  • 匿名使用者
    2 0 年前

    前題是你可以利用費馬最後定理。嗯,初中數學就夠了,寫太高程度了,不好意思,你一定認為太容易了,呵。

    2005-06-02 01:13:01 補充:

    好吧,所有進來看的高中生請看,費馬最後定理 n=3 時為:

    x^3 + y^3 = z^3

    的整數解都是 trivial 的,也就是說,x, y, z 三者中至少有一為零。

    現在高中生知道了此定理,只需要初中的數學知識就可以解題了喔。

    2005-06-02 17:29:28 補充:

    To GAS,問題是你的描述不全對啊。(m, 0, m), (0, m, m) 等等都是解啊,其中 m 為整數。

    2005-06-04 12:06:02 補充:

    Gas 太少看高中生了,我很多大學同學,初中時就自學完微積分,分析上也有很好的基礎,高中時就開始看微分方程、數論,抽象代數的 Galois 理論,程度好一點的已經在看拓撲學了,大一時已經對微分幾何及泛函分析有一定了解喔。在這些人的刺激下,想不提高都難啊。

    2005-06-05 01:27:39 補充:

    還是言歸正傳吧。我們不是要了解費馬最後定理的證明,而是要用而已,何況 n = 3 時的證明也不算太難。

    2005-06-08 10:47:10 補充:

    To 小黧:你只是對了一解。你怎知沒有其他的解?這題當然可以扯上費馬最後定理,我就是用費馬最後定理找出所有整數解的。

    2005-06-12 02:07:11 補充:

    這題沒有人解出來實在可惜啊,這跟我很多其他題目一樣,說穿了就簡單到你想拿頭撞牆。給一個提示,想想如何可以作些調整,變出兩項三次方的式子,然後原有的 y^2 + 432 都不見了,然後就化成費馬最後定理的樣子,然後你就解決了問題,...呵,我就是這樣想的。

    2005-06-12 12:44:24 補充:

    你也跳步太快了吧,而且要用費馬最後定理還不明顯,我還沒有看出 a^3 + b^3 = c^3 這種形式。

    2005-06-13 00:47:19 補充:

    想法是要弄出兩項 y 三次方程,其差剛好為 y^2 + 432,但又可能要乘上一個立方係數以作調整,於是稍為試一下,就可發現:

    216(y^2 + 432) = (y + 36)^3 - (y - 36)^3

    2005-06-13 04:36:37 補充:

    無可否認,證明過程完全沒有用任何高深數學。只假定了高中生知道費馬最後定理是在談什麼就好了。而這假定是非常合理的,即使不知道,我也寫成意見了。至於是那間高中,其實都沒差,很多高中的計算題,比這難上十倍不止啊。

  • dd
    Lv 6
    2 0 年前

    這題目高中程度?

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