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Copestone 發問時間: 科學數學 · 2 0 年前

〔數論〕分解整數係數二次方程

設 M, N 為正整數,請問兩個二次式 (x2 + Mx + N)  及  (x2 + Mx - N)  同時有整數根的充分及必要條件?換句話說,請找出「所有」令上列兩式都有整數根的 (M, N)。例子要想一下,我乾脆先列 3 個:(1) x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3);x2 + 5x - 6 = (x - 1)(x + 6)(2) x2 + 10x + 24 = (x + 4)(x + 6);x2 + 10x - 24 = (x - 2)(x + 12)(3) x2 + 13x + 30 = (x + 3)(x + 10);x2 + 13x - 30 = (x -2)(x + 15)

5 個解答

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  • 最佳解答

    M=p^2+q^2

    N=pq(p+q)(p-q)

    其中p,q均為正整數,且p>q

    (x^2 + Mx + N) 及 (x^2 + Mx - N) 同時有整數根

    這表示二者的判別式(M^2-4N)和(M^2+4N)均為完全平方數

    那麼兩者相乘仍為完全平方數,令其為a^2,a為整數

    即(M^2-4N)(M^2+4N)=(M^2)^2-(4N)^2=a^2

    a^2+(4N)^2=(M^2)^2

    那麼a,4N,M^2三者即為一組畢式數,必可表示成

    a=b^2-c^2

    4N=2bc

    M^2=b^2+c^2

    又,M,b,c又是一組畢式數,可表示為

    b=p^2-q^2

    c=2pq

    M=p^2+q^2

    代回去,N=bc/2=pq(p^2-q^2)=pq(p+q)(p-q)

    故若(x^2 + Mx + N) 及 (x^2 + Mx - N)同時有整數根,必可找到正整數p,q(p>q)滿足M=p^2+q^2,N=pq(p+q)(p-q)

    (才疏學淺,不曉得k是怎麼變出來的,因為這個方法我還不太熟悉)

    逆定理:

    若M=p^2+q^2,N=pq(p+q)(p-q),則

    x^2 + Mx + N=[x+q(p+q)][x+p(p-q)]兩根均為整數

    x^2 + Mx - N=[x+p(p+q)][x-q(p-q)]兩根亦均為整數

    參考資料: 一個采石磯畔題詩的人
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  • 2 0 年前

    x^2+Mx+N=(x-a)(x-b)=>M=-(a+b) N=ab

    x^2+Mx-N=(x-c)(x-d)=>M=-(c+d) N=-cd

    a,b,c,d為整數

    因為M,N為正整數, a+b=c+d<0 ab= -cd>0

    d=a+b-c ab= -c(a+b-c)=>c^2-(a+b)c-ab=0

    因為a+b<0=>a>0 b<0 or a<0 b>0 or a<0 b<0

    ab>0 =>a>0 b>0 or a<0 b<0

    所以 a<0 b<0 且 b> -a

    c 也是整數 a+b+(a^2+6ab+b^2)^(1/2)=2c......eq

    結果是當在(a, b)第三象限的區域內,用斜率 1 的直線切為兩半的上半三角形內(b>-a) 又符合eq這個等式的(a,b)即為解

    M=-(a+b) N=ab

    例如(a,b 可對調)

    a=-1 b=0 => c=0 => M,N=1,0 不合

    a=-2 b=0 => c=0 => M,N=2,0 不合

    a=-2 b=-1 => c 非整數 => M,N=3,2 不合

    a=-3 b=0 => c=0 => M,N=3,0 不合

    a=-3 b=-1 => c非整數 => M,N=4,3 不合

    a=-3 b=-2 => c=1 => M,N=5,6 合

    .

    .

    .

    應該是有無限多組吧

    如有錯誤還是更簡單 精確的方式 請多多指教 謝謝

    參考資料: me
    • Commenter avatar登入以對解答發表意見
  • dd
    Lv 6
    2 0 年前

    M^2±4N為平方數

    這樣子會不會太籠統

    • Commenter avatar登入以對解答發表意見
  • 阿諺
    Lv 7
    2 0 年前

    還有…晚風大大

    若以你這樣說的話

    (X^2+MX+N)=(X+1)(X+N)

    (X^2+MX-N)=(X+1)(X-N)

    若兩數相乘的話不就被成這樣?(X+1)^2*(X^2-N^2)

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  • 匿名使用者
    2 0 年前

    To 晚風:當然不是我要的啦,我上面寫:M, N 為正整數。而且我要所有 M, N。

    2005-06-10 12:33:31 補充:

    那算部分解答,當然最好是以參數形式表達所有解。

    2005-06-11 00:02:14 補充:

    評語的第一行請刪去。應該是:留意如果把 M 改為 kM,N 改為 (k^2)N,則仍舊是一組解。阿克的解完全正確,不過很多解都可以從更基本的解產生,所以最後只要求這些不可被產生的解就足夠了。當然,這時候,其表達形式不見得更簡單。

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