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Copestone 發問時間: 科學數學 · 2 0 年前

〔圖論〕國際象棋中的騎士

知識+ 的數學題目實在缺乏創意,於是就想一個較特別的「一筆劃」問題。眾所週知,國際象棋中的騎士,是走「日」字形的。現在把棋盤縮小為 (4 格 ×  4 格),一枚騎士棋子有辦法從某一格開始移動,經過的格從不重覆,走完其他 15 個格子,最後回到原來的格子上麼?如有辦法,請舉例,如無辦法,請證明。 那  5 x 5 的棋盤又如何?

已更新項目:

抱歉,雖然整題的意思應該很清楚,但是我好像不該寫「日」字形,而應該寫 L 字形,不然會引起誤會啊。

9 個解答

評分
  • dd
    Lv 6
    2 0 年前
    最佳解答

    因為標題有圖論二個字我就用圖論的方法來証明〔4*4〕ABCDEFGHIJKLMNOP如果存在漢米爾頓圈Z那麼A、P二點一定在Z上但是和A相鄰的點只有G和J所以AG、AJ一定在Z上同理PG、PJ也一定在Z上如此一來就會形成A-G-P-J-A的圈那麼Z就會為A-G-P-J-A所以矛盾講白一點就是如果可以走完的話那一定會走過A跟P點但是可以走到A的只有G跟J所以我們一定是G-A-J這樣子走(當然反過來也行)同理我們得G-P-J這樣子走(當然反過來也行)結果我就只能A-G-P-J-A這樣子走(A-J-P-G-A也行啦)結果我們就只走四個點所以矛盾〔5*5〕ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXY如果存在漢米爾頓圈Z

    那麼A、E、U、Y四點一定在Z上

    但是和A相鄰的點只有H和L

    所以AH、AL一定在Z上

    同理EH、EN、UL、UR、YN、YR也一定在Z上

    如此一來就會形成A-H-E-N-Y-R-U-L-A的圈

    那麼Z就會為A-H-E-N-Y-R-U-L-A

    所以矛盾

    2005-06-13 11:38:05 補充:

    我覺得這樣子就很白話了

    不過沒學過圖論的可能就聽不懂了

    • Commenter avatar登入以對解答發表意見
  • 忠義
    Lv 6
    2 0 年前

    拍謝,看半天我還真的看不懂…所以就不加入你們的戰句囉!祝你們早日找到解答!

    • Commenter avatar登入以對解答發表意見
  • 2 0 年前

    藍格還是可以跳到藍格阿

    2005-06-11 23:41:44 補充:

    抱歉...沒看到你補充的...

    2005-06-11 23:45:22 補充:

    不好意思...看完你的補充,還是想說[藍格還是可以跳到藍格阿]...(很抱歉話沒有一次講完)

    • Commenter avatar登入以對解答發表意見
  • 匿名使用者
    2 0 年前

    To 星魂:關於 4 x 4 的情形,你的矛盾在那裡。你現在不是以奇偶的方法,你是說一個個情形去檢查有無矛盾麼?有沒有更簡單的想法,而我幾乎不用檢查就知道的方法?

    2005-06-11 14:46:54 補充:

    事實上,誰也知道,這是一個有限的遊戲,所以可以一個個情形去檢查。把格點分類可以檢查快一點,但即使在 4 x 4 的情形,要檢查的情形也不少的吧?所以,真正的問題是,有沒有更明顯的矛盾?使我幾乎一眼就看出答案的。

    2005-06-12 07:07:49 補充:

    我同意傑仔的看法,星魂你寫出來後,就可發現你下面句子的推理是錯的:

    (1)易知無法從紅跳到紅,所以還是紅格跳到藍格,藍格跳到紅格

    (2)設第一步從紅格出發,可知奇數步在紅格,偶數步在藍格。

    紅色在邊界,你著色的方法,的確令只有從紅到藍。可是藍色的格子,到紅色或是藍色的都可以,你唯一知道的,只是不在原來那行的藍色而已。

    2005-06-12 13:02:46 補充:

    我現在完全明白你寫的,但是這推理不能跳步,你既然要用到紅藍格子數目是相同的。你應該這樣寫:易看出從紅色到紅色,至少要 2 步,由於一共有 8 個紅色,所以走滿紅色的格子再回原點,就至少要 16 步,中間至少有 8 次停在藍色的格子,等號成立的唯一條件是藍色也跳到紅色,不然就有超過 8 次在藍格子上。

    2005-06-13 11:21:45 補充:

    呵,dd,你其實可以很白話的。

    • Commenter avatar登入以對解答發表意見
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  • 2 0 年前

    事實上,都沒辦法

    先證5*5不能(比較好證)

    將棋盤黑白相間染色,黑色比白色多一格

    易知從黑格一定跳到白格

    白格跳到黑格

    所以不可能全跳完再回到同一格

    再證4*4

    按照上題黑白染色

    可以知道一定從黑格跳到白格,白格跳到黑格

    將第一行和第四行染成紅色,第二行和第三行染成藍色

    易知無法從紅跳到紅,所以還是紅格跳到藍格,藍格跳到紅格

    兩種塗色法一比較,容易得到矛盾

    我補充一下

    第一種是

    黑白黑白

    白黑白黑

    黑白黑白

    白黑白黑

    第二種是

    紅藍藍紅

    紅藍藍紅

    紅藍藍紅

    紅藍藍紅

    現在任從一格出發,不訪設奇數步要在黑格,偶數步在白格

    設第一步從紅格出發,可知奇數步在紅格,偶數步在藍格

    所以,每一步所在的位置不是(黑,紅)就是(藍,白)

    顯然矛盾

    (如果還是不夠清楚請再通知,謝謝)

    沒有錯,藍格是可以跳到藍格

    但是,在16步中,要跳完8紅8藍,如果要從藍到藍,一定也要有紅到紅,但紅到紅是不可能的,所以藍到藍也要被避免

    2005-06-11 23:18:37 補充:

    那我再改一下好了

    2005-06-12 10:36:32 補充:

    sorry,還是不夠清楚,我再補充

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  • 5 年前

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  • 匿名使用者
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