三角函數ω的題目

Question

ω=cos2/5π+i sin2/5π

求(2-ω)(2-ω^2)(2-ω^3)(2-ω^4)

請用 x^4+X^3+X^2+X+1=(X-ω)(X-ω^2)(X-ω^3)(X-ω^4)

的觀念解給我看...

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這是93年板中的題目...他答案給25= =

我算也是31...不知道是怎樣= =

Answer 1

最佳解答

ω＝cos2/5π+ｉsin2/5π（1的五次方虛根）

所以 ω^5＝cos 2π＋ｉsin 2π＝1

X^5─1＝(X─1) (X^4＋X^3＋X^2＋X＋1)＝ 0

ω不等於 1＝＞ω^4＋ω^3＋ω^2＋ω＋1＝ 0

X^4＋X^3＋X^2＋X＋1＝(X─ω) (X─ω^2) (X─ω^3) (X─ω^4)

所以要求 (2-ω) (2-ω^2) (2-ω^3) (2-ω^4)

＝＞X＝2 代入 X^4＋X^3＋X^2＋X＋1

＝＞(2-ω) (2-ω^2) (2-ω^3) (2-ω^4) ＝2^4＋2^3＋2^2＋2＋1＝ 31

答：31

不知道對不對耶！

參考資料： 數學筆記