Dave 發問時間: 教育與參考考試 · 2 0 年前

數學問題~證明提

若a1,a2,....,an 成等差數列 求證:1/(√a1 加√a2) , 1/(√a2加√a3) .... 1/(√an-1 加√an)=n-1/(√a1加 √an)

1 個解答

評分
  • 2 0 年前
    最佳解答

    [證]

    <1>令公差為d。則 ak 減 ak-1 = d--(A)

    上下同乘 √ak減 √ak-1,

    則 一般項 :

    1/(√ak-1 加√ak)

    = ( √ak減 √ak-1 )/(ak 減 ak-1)

    = ( √ak減 √ak-1 )/ d--(B), [由 (A)]

    <2>由(B),

    k = 2, 1/(√a1 加√a2)= ( √a2減 √a1 )/ d--(2)

    k = 3, 1/(√a2加√a3) = ( √a3減 √a2 )/ d--(3)

    .........

    k = n,1/(√an-1加√an)= ( √an減√an-1 )/ d--(n)

    (2)+(3)+......+(n),右邊 √a2 和 減 √a2,

    √a3 和減 √a3, ........√an-1 和減 √an-1 相消

    則原式 = ( √an減√a1 )/ d--(*),

    <3>由(A)知

    an 減 a1 = [ a1 +( n-1 )*d ] - a1 = ( n-1 )*d--(#) ,*表乘號

    又 an 減 a1 =( √an減√a1)(√an加√a1)

    由(*),原式上下同乘 (√an加√a1)

    則原式 = ( √an減√a1 )(√an加√a1)/ d(√an加√a1)

    = ( an 減 a1)/ d(√an加√a1) = ( n-1 )*d/d(√an加√a1)

    = n-1/(√a1加 √an)[由(#)] 得證

還有問題?馬上發問,尋求解答。