數學問題～證明提

Question

若a1,a2,....,an 成等差數列 求證：1/（√a1 加√a2） , 1/（√a2加√a3） .... 1/（√an-1 加√an）=n-1/（√a1加 √an）

Answer 1

最佳解答

[證]

<1>令公差為d。則 ak 減 ak-1 = d--(A)

上下同乘 √ak減 √ak-1，

則 一般項 ：

1/（√ak-1 加√ak）

= ( √ak減 √ak-1 )/(ak 減 ak-1)

= ( √ak減 √ak-1 )/ d--(B), [由 (A)]

<2>由(B)，

k = 2， 1/（√a1 加√a2）= ( √a2減 √a1 )/ d--(2)

k = 3， 1/（√a2加√a3） = ( √a3減 √a2 )/ d--(3)

.........

k = n，1/（√an-1加√an）= ( √an減√an-1 )/ d--(n)

(2)+(3)+......+(n)，右邊 √a2 和 減 √a2，

√a3 和減 √a3， ........√an-1 和減 √an-1 相消

則原式 = ( √an減√a1 )/ d--(*)，

<3>由(A)知

an 減 a1 = [ a1 +( n-1 )*d ] - a1 = ( n-1 )*d--(#) ,*表乘號

又 an 減 a1 =( √an減√a1)(√an加√a1)

由(*)，原式上下同乘 (√an加√a1)

則原式 = ( √an減√a1 )(√an加√a1)/ d(√an加√a1)

= ( an 減 a1)/ d(√an加√a1) = ( n-1 )*d/d(√an加√a1)

= n-1/（√a1加 √an）[由(#)] 得證