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匿名使用者 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

請問一個平方和的問題

請問以下這個式子:

1^2 2^2 3^2 ..... n^2=n(n 1)(2n 1)/6

有辦法不用歸納法證明嗎??

還有立方和有沒有辦法呢??

謝謝大家囉~

已更新項目:

小西瓜你的證明可能有一點點問題喔~

問題在於你假設 結果=an^3+bn^2+cn+d 的根據在哪裡??

怎麼證明他不會超過三次??

3 個解答

評分
  • 1 0 年前
    最佳解答

    已知1+2+3+...+n=n(n+1)/2

    (k+1)^3=k^3+3k^2+3k+1

    k=1時,2^3=1^3+3*1^2+3*1+1

    k=2時,3^3=2^3+3*2^2+3*2+1

    k=3時,4^3=3^3+3*3^2+3*3+1

    k=4時,5^3=4^3+3*4^2+3*4+1

    ……

    k=n-1時,n^3=(n-1)^3+3*(n-1)^2+3*(n-1)+1

    k=n時,(n+1)^3=n^3+3*n^2+3*n+1

    將上列n式相加得(2^3,3^3,......n^3會左右對消)

    (n+1)^3=1^3+3*(1^2+2^2+...+n^2)+n

    移項化減得 1^2+2^2+3^2+.....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

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  • 1 0 年前

    若不想用歸納法的話,可以用演繹法來做:

    設1²+2²+…+n²=S

    因為(k+1)³=k³+3k³+3k+1→(k+1)³-k³=3k³+3k+1

    所以k=1  時  2³-1³    =3×1²    +3×1    +1

      k=2  時  3³-2³    =3×2²    +3×2    +1

      k=n-1時  n³-(n-1)³=3(n-1)³+3(n-1)+1

      k=n  時+)(n+1)³-n³=3n²    +3n    +1

              ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄

         所以   (n+1)³-1³ =3S    +3(1+…n)+n

    S=1/3[(n+1)³-1-n-3(1+…n)]

     =1/3[(n+1)³-(1+n)-3n(n+1)/2]

     =(n+1)/6[2(n+1)²-2-3n]

     =n(n+1)(2n+1)/6

    若用數學歸納法的話,如下:

    一.當n=1時,左=1²,右=(1×2×3)/6=1,故成立

    二.假設n=k成立,則1²+2²+…k²=k(k+1)(2k+1)

      當n=k+1時

      左=1²+2²+k²+(k+1)²=(1×2×3)/6+(k+1)²

       =[(k+1)/6]×[k(2k+1)+6(k+1)]

       =[(k+1)/6]×(2k²+7k+6)

       =(k+1)(k+2)(2k+3)/6=右

    三.By induction,n=k+1時,

      1²+2²+…+n²=n(n+1)(2n+1)/6 恆成立。

    參考資料: 自己
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  • 1 0 年前

    簡單的說,如果不用數學歸納法,就不能說「對每一個自然數n,這個式子永遠成立」。

    上面幾位大大所使用的方法,充其量只能說「發現1^2+2^2+3^2+.....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6」,但還稱不上是證明。

    (不過,如果你要證明的是「對於某個特定的n,上面的式子會成立」,把這當作證明,應該是可以的)

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