匿名使用者
匿名使用者 發問時間: 科學數學 · 2 0 年前

請問一題工程數學...

x^2 y"+xy'+4y=0

請幫忙解這題微分方程,謝謝~~

3 個解答

評分
  • 2 0 年前
    最佳解答

    著名的 Euler - Cauchy Equation

    本方程式為齊次﹝homageneous﹞方程式,

    只有 general solution,無 particular solution。

    令其解的型式為 y = x^m

    帶入原方程式得 特徵方程式

    m^2 + 4 = 0 ,m = 正負2i

    則其解的 bases 為 x^2i,x^-2i

    令其二根為

    cos 2lnx + isin 2lnx,cos 2lnx - isin 2lnx

    而 general solution 為二根之任意係數的線性組合

    故令其 general solution 為

    y = a(cos 2lnx + isin 2lnx) + b(cos 2lnx - isin 2lnx)

    整理以後得到 y = [(a+b)cos 2lnx + (a-b)isin 2lnx]

    但是你沒有給我 initial condition,例如 y(0) = 0, 或是 y'(0) = 0 等等,

    所以只能解到這裡。

    有 initial condition 時,帶入剛剛所假設的 general solution 求出其係數就得解了。

    參考資料:
  • 龍昊
    Lv 7
    2 0 年前

      基本觀念:  一個齊次( Harmonic )的Cauchy - Euler Equation型式如下:  ax2y'' + bxy' + cy = 0  令 y = xm代入→ y' = mxm - 1 → y'' = m( m - 1 )xm - 2  將 y、y'、y''代入ax2y'' + bxy' + cy = 0可得:  am( m - 1 ) + bm + c = 0 → am2 + ( b - a )m + c = 0  → m = { - ( b - a ) ± √[ ( b - a )2 - 4ac ] }/2a  m的結果分為三種狀況:  1. ( b - a )2 - 4ac > 0 ~ 相異實根  m = m1 , m2    y = c1xm1 + c2xm2  2. ( b - a )2 - 4ac = 0 ~ 重根  m = m , m  y = ( c1 + c2ln│x│)xm  3. ( b - a )2 - 4ac < 0 ~ 共軛複根  m = p ± iq  y = xp[ c1cos(q‧ln│x│+ c2sin(q‧ln│x│) ]  上面三種狀況的結果宜熟記之!有了以上的觀念,我們開始解題。1. x2y" + xy + 4y = 0sol:  令 y = xm代入得:m( m - 1) + m + 4 = 0  → m2 + 4 = 0 → m = ± 2i  → y = c1cos( 2‧ln│x│) + c2sin( 2‧ln│x│) #

    參考資料: 自己
  • 2 0 年前

    x2y"+xy'+4y=0 (尤拉柯西微分方程式)其解的格式為 y=xm將其微分 y'=mxm-1, y"=m(m-1)xm-2代入原式 x2m(m-1)xm-2+xmxm-1+4xm=0整理可得 [m(m-1)+m+4]xm=0因為 xm≠0 (否則得零解)所以 m(m-1)+m+4=0 (輔助方程式)  => m2+4=0  => m=±2i可得 y1=x2i, y2=x-2i因為 x2i=ei2ln(x)=cos[2ln(x)]+isin[2ln(x)]     x-2i=e-i2ln(x)=cos[2ln(x)]-isin[2ln(x)]Y1=(y1+y2)/2=cos[2ln(x)], Y2=(y1-y2)/2i=sin[2ln(x)]為一組解基(basis),其線性組合即為通解,=> y=C1cos[2ln(x)]+C2sin[2ln(x)]

還有問題?馬上發問,尋求解答。