叮噹 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

關於三角函數的問題:設Θ=15°,則(cosΘ isinΘ)

設Θ=15°,則(cosΘ isinΘ)(cos2Θ sin2Θ)除以(cos3Θ-isin3Θ)之值

3 個解答

評分
  • 1 0 年前
    最佳解答

    這裡用到複數極式的觀念:

    令z_1 = cos a+ i sin a,z_2 = cos b + i sin b,則

    z_1 * z_2 = ( cos a+ i sin a )( cos b + i sin b ) = cos ( a + b ) + i sin ( a + b )

    <複數相乘等於幅角相加>

    z_1 / z_2 = ( cos a+ i sin a ) / ( cos b + i sin b ) = cos ( a - b ) + i sin ( a - b )

    <複數相除等於幅角相減>

    所以,(cosΘ + i sinΘ)(cos2Θ+ i sin2Θ)除以(cos3Θ - i sin3Θ)

    =(cosΘ + i sinΘ) * (cos2Θ+ i sin2Θ) / (cos(-3Θ) + i sin(-3Θ) )...(*)

    =cos[Θ+2Θ-(-3Θ)]+ i sin[Θ+2Θ-(-3Θ)]

    =cos 6Θ + i sin6Θ = cos 90度 + i sin 90度 = 0+ i = i #

    (*) 注意到,複數極式的格式為 cos A + i sin A

    其中,兩個三角函數的角度A必須相等,另外,中間一定用"+"號連接

    因為 cos3Θ = cos(-3Θ),- sin3Θ = sin(-3Θ)

    所以把(cos3Θ - i sin3Θ)改成(cos(-3Θ) + i sin(-3Θ) )以符合複數極式的模樣

    並且才能使用上面所提相乘相除時幅角的特性

  • 1 0 年前

    欲求

    (cosΘ+ isinΘ)(cos2Θ+ sin2Θ)/(cos3Θ-isin3Θ)

    來一點偷吃步~

    令e^(i*Θ)=(cosΘ+ isinΘ)

    則e^(i*2Θ)=(cos2Θ+ isin2Θ)

    且e^(i*3Θ)=(cos3Θ+ isin3Θ)

    所以(cosΘ+ isinΘ))*(cos2Θ+ isin2Θ)=[e^(i*Θ)]*[e^(i*2Θ)]=e^(i*3Θ)

    =(cos3Θ+ isin3Θ)

    令一方面 (cos3Θ-isin3Θ) = [cos-(3Θ) + isin(-3Θ)] = e^(-i*3Θ)

    所以

    (cosΘ+ isinΘ)(cos2Θ+ sin2Θ)/(cos3Θ-isin3Θ)

    =(cos3Θ+ isin3Θ)/(cos3Θ-isin3Θ)

    =[e^(i*3Θ)]*[1/e^(-i*3Θ)]

    =e^(i*6Θ)

    =e^(i*90°)

    =cos90°+ isin90°

    = 0 + i*1

    = i

    參考資料: 奇摩知識網站
  • 匿名使用者
    1 0 年前

    http://tw.knowledge.yahoo.com/question/?qid=140512...

    有參加JHMC者請幫忙,謝謝。

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