Yahoo奇摩知識+ 將於 2021 年 5 月 4 日 (美國東部時間) 終止服務。自 2021 年 4 月 20 日 (美國東部時間) 起,Yahoo奇摩知識+ 網站將會轉為唯讀模式。其他 Yahoo奇摩產品與服務或您的 Yahoo奇摩帳號都不會受影響。如需關於 Yahoo奇摩知識+ 停止服務以及下載您個人資料的資訊,請參閱說明網頁。

發問時間: 教育與參考其他:教育 · 2 0 年前

什麼是[內積空間]?

請問一下各位~

什麼是[內積空間]?

orthonormal bases又是什麼ㄚ?

6 個解答

評分
  • 葉子
    Lv 5
    2 0 年前
    最佳解答

    一般簡單的線性代數教科書並不會把向量空間與內積空間的不同點交待得很清楚。在向量空間裡,我們並不管所謂向量的 "長度",一旦牽涉到長度、垂直…等概念,就得討論內積空間

    ***

    內積空間(inner product space)

    Def: 一向量空間 V over F,映射至實數的二元運算 <.,.> (內積,VxV->R),滿足:

    1. 對任意 v [- V,則 <v,v> >= 0,且 <v,v> = 0 iff v = 0

    2. 對任意 u, v [- V,則 <u,v> = <v,u>

    3. 對任意 a, b [- F,u, v, w [- V,

    則 <a.u+b.v,w> = a <u,w> + b <v,w>

    符合以上三點之 (V,(F,+,*),+,.,<.,.>),稱之為內積空間

    PS. 1. 大部分時刻為了方便,就直接稱呼 (V,<.,.>) 為內積空間

       或者,就直接稱 V 為內積空間

      2. 內積的許多重要性質,如柯西不等式,都可以由上面的定義推導而得

      3. 並非所有的向量空間都可定義其內積空間,

       要看所 over 的體 F 的性質而定

    ----

    垂直 (orthogonal)

    Def: 一內積空間 (V,<.,.>),u, v [- V,定義:

    u, v 垂直(記為 u |- v) iff <u,v> = 0

    ----

    向量的長度,norm

    Def: 一內積空間 (V,<.,.>),若 v [- V,

    定義 v 的長度為 √<v,v>,記為 |v|

    PS. 換句話說,向量的長度,與內積運算的定義有關

    換個內積運算,會得到不同的向量長度

    ----

    Examples:

    1. (R^2,<.,.>),其中 <(a,b),(c,d)> = ac + bd,形成一內積空間

    2. (L2,<.,.>),其中 <f,g> = ∫fg,形成一內積空間

    ======

    內積空間與基底的關係

    Thm: 若 (V,<.,.>) 為內積空間,則存在一組基底 B,使得:

    1. 對任意 v [- B,則 |v| = 1

    2. 對任意 u, v [- B,u != v,則 u |- v

    這組基底,則稱之為 (V,<.,.>) 的 orthonormal basis

    p.s. 這組基底並不是唯一的,彼此之間可以透過一組特殊的 V->V 線性映射對應(這組特殊的線性映射形成一個群)

    Thm: 若 B 為一內積空間 (V,<.,.>) 的 orthonormal basis,且 dim(V) = n,u, v [- V 為 V 中的一向量,而 (u1,...,un) 與 (v1,...,vn) 是以 B 為基底對 u 與 v 的表達,則 <u,v> = u1 v1 + ... + un vn

    所以由上可知,只要選對了好基底 (orthonormal basis),在計算上就會特別方便

    ----

    Example:

    在 R^n 空間裡,最常使用的基底為:{(1,0,0,...),(0,1,0,...),(0,0,1,...),...}

    這在一般 R^n 所使用的內積空間下是 orthonormal 的

    ======

    正定矩陣 (positive defined matrix)

    Def: A 為 nxn 矩陣 over R,則 A 為正定的 iff 對所有 v [- R^n,v^T A v >= 0,且 v^T A v = 0 iff v = 0

    ----

    正定對稱矩陣與內積空間的關係

    Thm: 若 B 為一向量空間 V over R 的基底,且 dim(V) = n,A 為 nxn 正定對稱矩陣,對任意 u, v [- V,u' 與 v' 是以 B 為基底對 u 與 v 的表達,定義 <u,v> = u'^T A v',則 (V,<.,.>) 為內積空間

    Thm: 若 B 為一內積空間 (V,<.,.>) over R 的基底,且 dim(V) = n,則存在一 nxn 正定對稱矩陣 A,使得對任意 u, v [- V,u' 與 v' 是以 B 為基底對 u 與 v 的表達,且 <u,v> = u'^T A v'

    正定對稱矩陣與內積空間兩者之間可以互換,使得我們可以用一個正定對稱矩陣表達內積運算 <.,.>這樣的性質,使得我們在許多時候,可以藉由正定對稱矩陣的運算簡化問題

    Thm: 若 B 為一內積空間 (V,<.,.>) over R 的 orthonormal basis,且 dim(V) = n,則 <.,.> 所對應的正定對稱矩陣即為 I

    ======

    離題討論:外積運算

    外積運算可以算是三維向量空間下的特殊產物,如果維度不為 3,則外積運算的結果應視為 "二階張量",而非向量

    有許多人會以外積運算當成向量的"乘法"看待,其實有點不妥,理由是這運算只在三維向量空間下才符合封閉律

    更何況,即使在三維向量空間下,如將外積運算當成乘法,此時這個向量空間頂多只是一個環而已(連交換環都不是,因為 axb = -bxa)並不夠成體,無法作除法運算

  • 7 年前

    這裡有你要的 答案

    TS77.CC

  • 匿名使用者
    7 年前

    【亞洲36588合法彩券公司直營 官網: A36588.NET 】

    【 最新活動→迎接新會員,首存狂送20% 】

    【運動→電子→對戰→現場→彩球 】

    【免費服務 →電影區、討論區、KTV歡唱、運動轉播、即時比分、24H客服 】

    【亞洲36588合法彩券公司直營 官網: A36588.NET 】

  • 7 年前

    到下面的網址看看吧

    ▶▶http://*****/

  • 您覺得這個回答如何?您可以登入為回答投票。
  • 7 年前

    到下面的網址看看吧

    ▶▶http://*****/

  • 1 0 年前

    http://www.wretch.cc/blog/warcraftt3&article_id=86...

    這個人有關向量空間寫得很好,有別於傳統

    原文書給一堆定義但連來的怎麼來都不知道....

還有問題?馬上發問,尋求解答。