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Lv 4
? 發問時間: 教育與參考其他:教育 · 1 0 年前

前幾天教數學~一個學生問了一題微積分的怪題目~~他問倒我了~

題目是~~~ x的x次方.在次方.在次方

....................f(x)= x^x^x^x ......的微分..

....寫成符號~如下

...............X

.............X

...........X

f(x)= X

.......這可以微分嗎.好像可以.但是算出來會一堆..不知別人算的答案是怎樣...

已更新項目:

~ Sonata Arctica~

~你算的好像不對ㄡ~

~砌雲風~跟~秋水翔天舞~ ~感覺答案比較可靠~

5 個解答

評分
  • 最佳解答

    這種類型可以積,要先換底,不過…太麻煩了,我舉2個變數來說好了,三個以上同理。

    d/dx{x^x}

    = d/dx{e^(ln(x^x))}

    = d/dx(lnx^x)*e^(ln(x^x))

    = (lnx+1)*(x^x)

    #

    三個變數要用個兩個變數比較好算

    答案是

    (x^x^x){(x^x)*(lnx+1)lnx+(x^x/x)}

    括號有點亂不好意思,希望看得懂

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  • 補充"簡單生活,逃離世界"的四個變數:

    y=x^x^x^x

    兩邊同取(ln)得

    ln(y)=(x^x^x)*ln(x)

    這邊要用到"簡單生活,逃離世界"的三個變數的解,代入(Product Rule)可得

    (y')*y={(x^x^x)[(x^x)*(lnx+1)lnx+(x^x/x)]*ln(x)+(x^x^x)/x}

    移項後可得解為如下:

    y'=(x^x^x^x)*{(x^x^x)[(x^x)*(lnx+1)lnx+(x^x/x)]*ln(x)+(x^x^x)/x}(x^x^x^x)}

    ps:不好意思沒整理^^有點長..

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  • 小賴
    Lv 4
    1 0 年前

    我都有過程我放在無名,希望對有幫助!!

    http://www.wretch.cc/album/show.php?i=smalllailai&...

    希望能給我最佳答案= ="

    2006-01-30 15:27:11 補充:

    我的答案~"更沒有"問題啦!!

    = ="

    我全都用手算...

    還有分析ㄡ~~

    哈哈~~誰都想要最佳答案!!+.+"

    參考資料: 當然4自己ㄚ!! = ="
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  • 1 0 年前

    f(x)= x^x^x^x ......

    那麼

    lnf(x)= f(x)*ln(x) 兩邊 同時對 x 取導數~

    得到 f'(x)/f(x) = f'(x)*ln(x) + f(x)/x

    兩邊乘上 f(x) 後

    f'(x) = f'(x)*f(x)*ln(x) + [f(x)^2]/x

    移項一下

    [ 1 - f(x)*ln(x)]*f'(x) = [f(x)^2]/x

    又 lnf(x)= f(x)*ln(x) 所以

    {1 - ln[f(x)]}*f'(x) = [f(x)^2]/x

    即 f'(x) = [f(x)^2]/{x - x*ln[f(x)]}

    2006-01-21 12:35:40 補充:

    方法有點詭異 說明一下f(x)= x^x^x^x ......兩邊取對數後ln[f(x)]=(x^x^x^x ......)*ln(x)又 f(x)= x^x^x^x ......所以 lnf(x)= f(x)*ln(x) 就這樣子!!!!

    2006-01-27 11:38:57 補充:

    我的答案 沒有問題啦!!

    參考資料: 直覺
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  • 1 0 年前

    I may be wrong, but I think the answer is f '(x) = X[(X)^X]^X * X(X)^X * X(X)

    參考資料: myself
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