一題工數矩陣的問題

有一矩陣:

1 -2 1

5 1 -1

1 2 1

請問特徵值與特徵向量如何求之?

煩請在因式分解的部份詳加說明!

謝謝~

已更新項目:

是否可以請用

一、右乘相加減左乘相加,用特徵方程式求特徵值

二、特徵值代入,再乘未知數,看比例求特徵向量

這個方法我比較看的懂

麻煩了謝謝!!!

2 個解答

評分
  • 2 0 年前
    最佳解答

    令此矩陣為A, 具有特徵值λ,及特徵向量x, 則 A x =λx

    (A-λ*I ) x = 0

    若要有非零解(nontrivial solution)

    則行列式|| A-λ*I||要為0

    ||1-λ -2 1 ||

    || 5 1-λ -1 || = 0

    || 1 2 1-λ ||

    拆解後得到

    (1-λ)^3 + 11*(1-λ) +12 = 0 --------(a)

    從係數關係我們可知,若是1-λ= -1滿足上式

    因而λ= 2 明顯為其中一解

    接下來我將用三根的和積關係來解剩下的兩根

    展開(a)式後可得:

    λ^3 -3 *λ^2 + 14*λ- 24 = 0

    令三根分別為a, b, 2(已經解得)

    則三根之和 a + b +2 = 3

    三根之積 a * b * 2 = 24

    化簡帶入計算後得到a =[1+i*47^0.5] / 2 或是 [1-i*47^0.5] / 2

    對應到 b =[1- i*47^0.5] / 2 [1+i*47^0.5] / 2

    其中i = (-1)^0.5

    因而可得到λ= 2, [1+i*47^0.5] / 2 , [1- i*47^0.5] / 2

    接下來我們來解λ= 2的特徵向量x , 令x =(α,β,γ)^T

    其滿足

    (A –λ*I) x = 0

    | -1 -2 1 | |α| | 0 |

    | 5 -1 -1 | ‧ |β| = | 0 |

    | 1 2 -1| |γ| | 0 |

    得到4*α=3*β--帶入解得α,β,γ的比例關係為(3, 4, 11)

    故得到λ= 2的特徵向量x =(3,4,11)^T

    解λ= [1+i*47^0.5] / 2的特徵向量x

    | -1 -2 1 | |α| | 0 |

    | 5 -1 -1 | ‧ |β| = | 0 |

    | 1 2 -1 | |γ| | 0 |

    得到4*α=3*β------>帶入解得α,β,γ的比例關係為(3, 4, 11)

    故得到λ= 2的特徵向量x =(3,4,11)^T

    由此方法你也可以分別解得λ=[1+i*47^0.5] / 2 , λ=[1- i*47^0.5] / 2的特徵向量

    2006-03-30 13:58:33 補充:

    當λ=[1+i*47^0.5] / 2 時 x = (1, [-1-i*47^0.5] / 4 , -1)當λ=[1-i*47^0.5] / 2x = (1, [1+ i*47^0.5] / 4 , -1)

    2006-03-30 22:47:42 補充:

    ||1-λ -2 1 |||| 5 1-λ -1 || = 0|| 1 2 1 -λ||行列式的計算是從左上乘到右下的總和 - 右上乘到左下的總和所以, (1-λ)^3 + (-2)*(-1)*1 + 1*5*2 - {(1-λ)*1*1 + (-1)*2*(1-λ) + (1-λ)*(-2)*5}=(1-λ)^3 + 12 - {(1-λ)*(1 - 2- 10)}=(1-λ)^3 + 11*(1-λ) +12 = 0

    參考資料: 工程數學,線性代數
  • 2 0 年前

    我有個疑問是

    ||(1-λ) -2 1 ||

    || 5 (1-λ) -1 ||

    || 1 2 (1-λ)||

    我記得有個方法是右乘相加減左乘相加

    這個展開我一直算不出來~

    可否麻煩用這方法相乘展開給我看一下

    就是你"拆解"的步驟,謝謝!

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