一題工數矩陣的問題

Question

有一矩陣：

1 -2 1

5 1 -1

1 2 1

請問特徵值與特徵向量如何求之?

煩請在因式分解的部份詳加說明!

謝謝~

已更新項目:

是否可以請用

一、右乘相加減左乘相加，用特徵方程式求特徵值

二、特徵值代入，再乘未知數，看比例求特徵向量

這個方法我比較看的懂

麻煩了謝謝!!!

Answer 1

最佳解答

令此矩陣為A, 具有特徵值λ,及特徵向量x, 則 A x =λx

(A-λ*I ) x = 0

若要有非零解(nontrivial solution)

則行列式|| A-λ*I||要為0

||1-λ -2 1 ||

|| 5 1-λ -1 || = 0

|| 1 2 1-λ ||

拆解後得到

(1-λ)^3 + 11*(1-λ) +12 = 0 --------(a)

從係數關係我們可知,若是1-λ= -1滿足上式

因而λ= 2 明顯為其中一解

接下來我將用三根的和積關係來解剩下的兩根

展開(a)式後可得:

λ^3 -3 *λ^2 + 14*λ- 24 = 0

令三根分別為a, b, 2(已經解得)

則三根之和 a + b +2 = 3

三根之積 a * b * 2 = 24

化簡帶入計算後得到a =[1+i*47^0.5] / 2 或是 [1-i*47^0.5] / 2

對應到 b =[1- i*47^0.5] / 2 [1+i*47^0.5] / 2

其中i = (-1)^0.5

因而可得到λ= 2, [1+i*47^0.5] / 2 , [1- i*47^0.5] / 2

接下來我們來解λ= 2的特徵向量x , 令x =(α,β,γ)^T

其滿足

(A –λ*I) x = 0

| -1 -2 1 | |α| | 0 |

| 5 -1 -1 | ‧ |β| = | 0 |

| 1 2 -1| |γ| | 0 |

得到4*α=3*β--帶入解得α,β,γ的比例關係為(3, 4, 11)

故得到λ= 2的特徵向量x =(3,4,11)^T

解λ= [1+i*47^0.5] / 2的特徵向量x

| -1 -2 1 | |α| | 0 |

| 5 -1 -1 | ‧ |β| = | 0 |

| 1 2 -1 | |γ| | 0 |

得到4*α=3*β------>帶入解得α,β,γ的比例關係為(3, 4, 11)

故得到λ= 2的特徵向量x =(3,4,11)^T

由此方法你也可以分別解得λ=[1+i*47^0.5] / 2 , λ=[1- i*47^0.5] / 2的特徵向量

2006-03-30 13:58:33 補充：

當λ=[1+i*47^0.5] / 2 時 x = (1, [-1-i*47^0.5] / 4 , -1)當λ=[1-i*47^0.5] / 2x = (1, [1+ i*47^0.5] / 4 , -1)

2006-03-30 22:47:42 補充：

||1-λ -2 1 |||| 5 1-λ -1 || = 0|| 1 2 1 -λ||行列式的計算是從左上乘到右下的總和 - 右上乘到左下的總和所以, (1-λ)^3 + (-2)*(-1)*1 + 1*5*2 - {(1-λ)*1*1 + (-1)*2*(1-λ) + (1-λ)*(-2)*5}=(1-λ)^3 + 12 - {(1-λ)*(1 - 2- 10)}=(1-λ)^3 + 11*(1-λ) +12 = 0

參考資料： 工程數學,線性代數

Answer 2

我有個疑問是

||(1-λ) -2 1 ||

|| 5 (1-λ) -1 ||

|| 1 2 (1-λ)||

我記得有個方法是右乘相加減左乘相加

這個展開我一直算不出來~

可否麻煩用這方法相乘展開給我看一下

就是你"拆解"的步驟，謝謝!