Scharze space 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

微積分的證明

試證明方程式:x7+x5+x+1恰有一個實數根

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寫錯了,應該是x^7+x^5+x+1=0

2 個已更新項目:

用微積分方法解會比較快

2 個解答

評分
  • 徐總
    Lv 6
    1 0 年前
    最佳解答

    f(x)=x^7+x^5+x+1 ==> f'(x)=7x^6+5x^4+1因 f(x) 為連續函數且 f(-1)=-2<0 ; f(0)=1>1 由勘根定理知,至少存在一數 c 在 (0,1) 間,使得 f(c)=0 即 x=c 為 x^7+x^5+x+1=0 的實根  假設 x^7+x^5+x+1=0 在 (0,1) 內有兩實根 c ,d 且 0<c<d<1因 f(x) 在 (c,d) 連續且可微分且 f(c)=f(d)=0由洛爾定理知, 至少存在一數 a 在 (c,d ) 間, 使得 f'(a)=0但 f'(a)=7a^6+5a^4+1 >1 ≠0  (矛盾)故 x^7+x^5+x+1=0 在 (0,1) 內有兩實根 c ,d 的假設錯誤即 x^7+x^5+x+1=0 不可能有兩個或兩個以上的實根得證 x7+x5+x+1恰有一個實數根 

    參考資料: me
  • 1 0 年前

    比較簡單的辦法(目前我知道的辦法都是這樣做)

    是將這個方程式寫成矩陣形式

    [x^7 x^6 x^5 x^4 x^3 x^2 x]^T

    =[0 -1 0 0 0 -1 -1

    1 0 0 0 0 0 0

    0 1 0 0 0 0 0

    0 0 1 0 0 0 0

    0 0 0 1 0 0 0

    0 0 0 0 1 0 0

    0 0 0 0 0 1 0]*[x^6 x^5 x^4 x^3 x^2 x 1]^T

    令[x^6 x^5 x^4 x^3 x^2 x 1]^T=y,中間那個矩陣=A

    => xy=Ay換句話說,變成一個求eigen value的問題

    那所有可能的x解就是A矩陣的eigen value

    後面就是乖乖把它算出來,發現它只有一個實根

    至於要怎麼算eigen value...這個有點複雜 要在這邊解釋太花時間

    建議去找找"qr step"這個東西 會有說明

    大致上是用household矩陣將A轉成unreduced形式後再用QR分解去做

    做個參考吧

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