else 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

微積分中的ln還有e究竟有什麼意義...

Q1.我知道ln唸做nature log本以為就是log但是後來發現不一樣...那麼ln究竟代表什麼意思?要怎麼微分跟積分?

Q2.e我知道好像是等於1.多...但是為何要把1.多用這個字母來替代呢?這個有什麼意義?要怎麼微分跟積分呢?

3 個解答

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  • 1 0 年前
    最佳解答

    e為自然對數

    Define:

     1/x

    當f ( x ) = ( 1 + x ) 時 如果 x->0則 f ( x ) 為一定值

    可以改寫成

    1/x

    e = l i m ( 1 + x )

    x->0

    e = 2.72828...

    n x =l o g x以e為底

    如∫lnx d(x)

    要用分部積分

    公式 <∫udv = uv-∫vdu>

    lot

    u = lnx du= 1/xdx

    dv = dx v=x

    ∴∫lnx d(x) = xlnx - ∫dx

    -->∫lnx d(x) = xlnx - x

    微分部份

    如 (lnx)'

    ->1/x d(x)/dx = 1/x

    e 與 ln 關係:

    當一個方程式為

    y = ln x

    x = e的Y次方

    參考資料: 自己與微積分課本
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  • 1 0 年前

    e 是怎麼來的呢,我們來想一個問題:

    A=(1+1/n)^n,當n→∞時,A的值是多少呢?

    會收歛還是發散呢?

    我們展開來看:

    (1+1/n)^n = C(n,0)×1 + C(n,1)×(1/n) + C(n,2)×(1/n)^2

    + ... + C(n,n)×(1/n)^n,C是組合幾取幾的意思

    =1 + 1 + (1/2!)×[n×(n-1)]×(1/n)^2 + ... (因為n為無窮)

    = 2 + 1/2! + 1/3! + ...

    這結果最後會收歛至2.71828多~ 是個無理數,

    所以就用e來表示,也叫尤拉數

    至於為何和積分有關呢?

    來看這題,∫(1/x) dx

    傳統的做法是將次方提高一次,然後...做不下去了

    因為-1次方變0次方是常數項,但常數項微分後變成0

    那來看看log(a,X)微分是多少: ( log(a,X)表以a為底)

    令y=log(a,X)

    dy/dx = (1/dx) ( log(a,X+dx) - log(a,X) )

    = (1/dx) × log(a,1+dx/X)

    = (1/X)×log [a, (1+dx/X)^(X/dx) ],

    湊成一開始提到的型式:

    (1+無限小)的無限大次方,而無限小和無限大互為倒數

    所以dy/dx = (1/X)×log(a,e)

    當a為e時,即以e為底,

    則 d log(e,X) / dx = d(ln X) / dx = 1/X

    正好解決了 1/X 積分的難題!!

    很神奇吧!

    所以遇到 1/X 的積分,那就是 ln X + C 啦!!

    發展的順序我不太記得了,好像是先有e吧

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  • 1 0 年前

    ㏑ (Natural Logrithm),即自然對數。

    ㏒ (logrithm),未加有底數的話,視為常用對數,以 10 為底數。

    但也有人把未加底數的 ㏒ 視為以 e 為底數。

    e 自然對數的底,為一無理數,其值等於 2.71828182545904523536.........

    而不是你所說的1.多。因為是無理數,所以和π一樣,用字母代替。

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