小維 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

數學千古大難題-高手請進

觀察以下規律

(2^0.5 -1)^1=2^0.5 -1^0.5

(2^0.5 -1)^2=9^0.5 -8^0.5

(2^0.5 -1)^3=50^0.5 -49^0.5

(2^0.5 -1)^4=289^0.5 -288^0.5

(2^0.5 -1)^5=1682^0.5 -1681^0.5

(2^0.5 -1)^6=9801^0.5 -9800^0.5

試證明:對於所有的K屬於整數(2^0.5 -1)^K=N^0.5-(N-1)^0.5 其中N是某一整數

所有的減號改成加號似乎也成立???

請高手證明吧!也請順便「簡短」的告訴我:為什麼?

已更新項目:

所以說,在這裡數學歸納法派不上用場?

2 個解答

評分
  • 1 0 年前
    最佳解答

    這不止是正確的,而且也可以確實知道 N 的值。

    我們假設有正數 A、B 滿足:

    ( √2 + 1)^n = √A + √B ……… (1)

    ( √2 - 1)^n = √A - √B ……… (2)

    只要證明:[1] A、B為正整數 [2] A - B = 1 就完成的!

    [2] 先證明 A - B = 1:

    (式子(1) + 式子(2))2√A = ( √2 + 1)^n + ( √2 - 1)^n

    (式子(1) - 式子(2))2√B = ( √2 + 1)^n - ( √2 - 1)^n

    二邊取平方

    4A = ( √2 + 1)^(2n) + ( √2 - 1)^(2n) + 2 ……… (3)

    4B = ( √2 + 1)^(2n) + ( √2 - 1)^(2n) - 2 ……… (4)

    所以

    (式子(3) - 式子(4))A - B = 1

    [1] 因為 A = B + 1,其實只要證明 B 是正整數就可以了:

    (由式子(4),並利用「二項式」定理)

    4B

    = ( √2 + 1)^(2n) + ( √2 - 1)^(2n) - 2

    ={C(2n,2n)*(√2)^(2n) + C(2n,2n-1)*(√2)^(2n-2) + … + C(2n,0)}

    +{C(2n,2n)*(√2)^(2n) - C(2n,2n-1)*(√2)^(2n-2) + … + C(2n,0)}- 2

    = 2*{C(2n,2n)*[2^n]+ C(2n,2n-2)*[2^(2n-1)] + … + C(2n,0)}- 2

    因為組合數 C(2n,2n)、C(2n,2n-2)、C(2n,0)必為正整數,且C(2n,0) = 1,所以

    C(2n,2n)*[2^n]+ C(2n,2n-2)*[2^(n-1)] + … + C(2n,0)

    必形為 2K+1 的正整數(K為正整數)

    因此

    4B = 2*(2K + 1) - 2 = 4K → B = K 也為正整數。

    綜上所述,可以寫成下列定理:

    [定理]

    對於任意正整數 n 有下列性質

    [1]( √2 + 1)^n = √A + √B

    [2] ( √2 - 1)^n = √A - √B

    其中 A = B + 1 且正整數 B = C(2n,2n)*[2^(n-1)]+ C(2n,2n-2)*[2^(n-2)] + … + C(2n,2)

    [檢驗]

    取 n = 3 → 則 B = C(6,6)*[2^2] + C(6,4)*2 + C(6,2) = 49

    所以有( √2 + 1)^3 = √50 + √49 以及 ( √2 - 1)^3 = √50 - √49

    [備註]

    已經是盡己所能的「最簡化了」,希望能幫上忙!

    2006-06-06 21:54:09 補充:

    Pierce 所言甚是,若僅僅用 式子(1)*式子(2) 的確可以較容易得到 A - B 的值,但無法知道 A、B 分別是多少,所以為了 更清楚知道 A、B 的值(也就是 N),故採用「加法」,謝謝指教!

    2006-06-06 21:54:13 補充:

    Pierce 所言甚是,若僅僅用 式子(1)*式子(2) 的確可以較容易得到 A - B 的值,但無法知道 A、B 分別是多少,所以為了 更清楚知道 A、B 的值(也就是 N),故採用「加法」,謝謝指教!

    2006-06-06 21:57:20 補充:

    怎麼重複二次??在本題使用「歸納法」不容易證明。

    2006-06-06 22:01:26 補充:

    其實如果可以接受「二項式定理」的話:(x+y)^n=C(n,n)*x^n+C(n,n-1)*x^(n-1)*y+…+C(n,0)*y^n(x-y)^n=C(n,n)*x^n-C(n,n-1)*x^(n-1)*y+…+(-1)^n*C(n,0)*y^n很容易看的出來下面補充的一個「一般化」性質。

    2006-06-06 22:08:43 補充:

    對任意正整數 N 以及 n,必唯一存在正整數 K,使得:(√(N+1) - √N )^n = √(K+1) - √K其中 K+1 ={C(n,n)*[√(N+1) ]^n+C(n,n-2)*[√(N+1) ]^(n-2))*[√N]^2+…}^2K ={C(n,n-1)*[√(N+1) ]^(n-1)*√N+C(n,n-3)*[√(N+1) ]^(n-3))*[√N]^3+…}^2

    2006-06-06 22:32:41 補充:

    上面補充「+」的也對!舉例來說,取 N=5、n=3,則:K+1={C(3,3)*(√5)^3 + C(3,1)*(√5)*(√4)^2}^2=1445所以得到(√5 - √4)^3=√1445 - √1444以及(√5 + √4)^3=√1445 + √1444

    參考資料: 自己
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  • 1 0 年前

    A - B = 1的證明直接(1)x(2)比較快,

    [( √2 + 1)( √2 - 1)]^n= (√A + √B)(√A - √B)

    =>1^n=1=A-B

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