jame0812 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

(工程數學)工數高手達人麻煩幫我解一下

Solve the boundary value problem

Ut=3Uxx 註:t與xx都是在U右下方的符號,抱歉因為我不知怎麼打!

U(0,t)=U(π,t)=0, U(x,0)=4sin2x

4 個解答

評分
  • 1 0 年前
    最佳解答

    因邊界條件都為0,故利用separation varibles方法解。

    令 U(x,t) = F(t)*G(x),

    代入原方程式,得F'(t)*G(x) = 3 F(t)*G'(x)

    F'(t) /(3F(t)) = G''(x) / G(x)

    又等號左右兩式變數不同而等號成立是故左右兩式為等值之一常數,

    令該常數為 k,

    先解 k = G''(x) / G(x),

    考慮 k值符號

    1. 若 k為 0 ,則解之型態為 G(x) = A x + B,A和B為常係數,代入邊界值A=B=0,此時 G(x) ≡ 0,得 U(x,t) ≡ 0,trivial solution,毋須再考慮。

    2. 若 k為正,則解之型態為 G(x) = A exp(p*x) + B exp(-p*x),A、B及p為常係數,exp(x)為指數函數,代入邊界值,與1.同理解得 U(x,t) ≡ 0,trivial solution。

    3. 若k為負,解得 G(x) = A cos (√(-k) *x) + B sin (√(-k) *x),代入邊界值

    U(0,t) = F(t)*G(0) = 0;U(π,t)= F(t)*G(π) = 0。

    避免得到 G(x) ≡ 0 的 trivial solution,唯有

    G(0) = A = 0,G(π) = B sin (√(-k) *π) = 0,且B ≠ 0。

    故得 √(-k) = n ,k = -n^2,其中n=1,2,3,....

    則 G(x) = B sin (n*x)

    又對應不同的 n,G(x)有不同的解,

    是故令 Gn(x) = Bn*sin(n*x) ---------------------------(Gn、Bn之n請視之為下標)

    求得 k 值後,再求 F(t),

    則通解 Fn(t) = Cn*exp((-3n^2) * t) ----------------------(Fn、Cn之n請視之為下標)

    Un(x,t)=Fn(t)*Gn(x) = Bn*Cn * sin(n*x) * exp((-3n^2)*t) = An*sin(n*x)*exp((-3n^2)*t)

    [合併 Bn*Cn = An 為新常係數]

    完整解

    U(x,t) = ΣUn(x,t),

    代入初始值 U(x,0) = 4 sin2x,

    解得 A2=4,A1 = 0 = A3 = A4 = A5 = .........

    故U(x,t) = 4 sin2x * exp(-12t)

    過程可能仍有瑕玼,

    但幾乎照著工程數學原文書的熱方程式例題下去解,

    任何一本工程數學的書都有吧。

    2006-06-09 23:02:47 補充:

    解題往往需要用到很多假設,但常常為了使解題順遂漂亮,就忽略了它的前提假設。(每個假設都應正確合理的寫出來)

    參考資料: Kreyszig, Sec11.5, Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition
  • 匿名使用者
    6 年前

    到下面的網址看看吧

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  • 1 0 年前

    TIxxxxx較正確

  • 1 0 年前

    令 U(x,t)=X(x)T(t)  U(0,t)=X(0)T(t)=0 => X(0)=0  U(π,t)=X(π)T(t)=0 => X(π)=0  U(x,0)=X(x)T(0)=4sin2x Ut=T'X, Uxx=TX"代入原式  T'X=3TX"=> T'/(3T)=X"/X=c  T'-3cT=0 ...(1)  X"-cX=0 ...(2)解(2):  (i) 當 c=p2, p≧0      X"-p2X=0      X=c1epx+c2e-px, X(0)=X(π)=0     X(0)=c1+c2=0, X(π)=c1epπ+c2e-pπ=0     => c1=c2=0 (不合)  (ii) 當 c=-p2, p>0      X"+p2X=0      X=c1cos(px)+c2sin(px), X(0)=X(π)=0     X(0)=c1=0 => X=c2sin(px)     X(π)=c2sin(pπ)=0      ∵ c2≠0, ∴ sin(pπ)=0 => pπ=nπ => p=n, n=1,2,3,...      X=c2sin(nx) , n=1,2,3,...c=-p2=-n2, 代入(1)式T'-3cT=0 => T'+3n2T=0 => T=c3e-(3n^2)tUn=c3e-(3n^2)tc2sin(nx) , n=1,2,3,...  =Dne-(3n^2)tsin(nx) , n=1,2,3,...U(x,t)=Σn=1∞Dne-(3n^2)tsin(nx)U(x,0)=Σn=1∞Dnsin(nx)=4sin2x  => D2=4, Dn=0, n=1,3,4,...(n≠2)U(x,t)=4e-12tsin(2x)

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