? 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

如何證明以下這條的不等式(急)

5ⁿ≥2ⁿ*n²不懂得怎麼做...請使用k及k+1來做...並列明過程解釋...很急的!!請幫幫忙,謝!!!

已更新項目:

呃呃........其實不用k及k+1都可以啦...>.<

只要讓我明白這題怎樣解就好了...Q.Q

2 個已更新項目:

天阿...我兩個都不明白QQ|||我果然很笨...嗚嗚...

TO Ohb: 為什麼會有9/4出現的???

3 個已更新項目:

TO chuchu: 我...我完全不明白為什麼要這樣做QQ|||對不起...為什麼會跑出個(5/2)^n的...??

=1,2,3,4皆成立

n≧5,(5/2)^n>2^n>n^2

所以5^n>(2^n)*n^2

9 個解答

評分
  • 1 0 年前
    最佳解答

    若n為正整數,等號不會成立,不等式應該去掉相等的情形

    可是你卻忘了,相等與大於本來就是"或"的關係,所以有等號也不矛盾,只是不漂亮而已。

    就好比任何質數>=1,這是正確的。

    2006-06-16 11:22:05 補充:

    引理一:2k2>(k+1)2,當k≧3時證明:2k2-(k+1)2=2k2-k2-2k-1=k^2-2k-1=(k2-2k+1)-2=(k-1)2-2≧(3-1)2-2=2>0故2k2>(k+1)2,當k≧3時引理二:2n>n2,當n≧5時證明:n=5時,32>25成立假設n=k時成立,即2k>k2當n=k+1時,2k+1=2*2k>2*k2>(k+1)2(根據引理一)故n=k+1時亦成立,根據數學歸納法原理,原式成立-----原題開始證明-----n=1,2,3,4時,代入皆成立;當n≧5時,2n>n2(引理二)→2n*2n>2n*n2(兩邊同乘2n)→4n>2n*n2(且顯然5n>4n)→5n>4n>2n*n2→5n>2n*n2證明完畢

    參考資料: 我這個采石磯邊題詩的人的頭腦
  • 1 0 年前

    chuchu 指的是如果知道「2^n≧n^2」的話。

    其實也不用除過去,只要:

    5^n > 4^n = 2^n * 2^n ≧2^n * n^2

    → 5^n > 2^n * n^2(等號可以拿掉)

  • 1 0 年前

    chuchu是把左式的2^n 再乘回右式..

  • 1 0 年前

    版主:題目應該要說明n是正整數才能使用數學歸納法

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  • 1 0 年前

    請問:chuchu

    n≧5,(5/2)^n>2^n>n^2

    這個式子是怎麼列出來的呢??

  • 1 0 年前

    chuchu的證法比較短捷簡妙,推崇之

  • chuchu
    Lv 5
    1 0 年前

    n=1,2,3,4皆成立

    n≧5,(5/2)^n>2^n>n^2

    所以5^n>(2^n)*n^2

    若n為正整數,等號不會成立,不等式應該去掉相等的情形

  • 匿名使用者
    1 0 年前

    這題回答的很棒

  • 1 0 年前

    是要使用數學歸納法嗎?

    那:

    當n=1時,5^1 = 5, 2^1 * 1^2 = 2, 5>2 => n=1時本式成立

    當n=2時,5^2 = 25, 2^2 * 2^2 = 16, 25>16 => n=2時本式成立

    設當n=k時成立,

    則當n=k+1時,

    5^(k+1) = 5^k * 5

    2^(k+1) * (k+1)^2 = (2^k * k^2) * 2 * (k+1)^2 / k^2

    因(k+1)^2 / k^2 = (1+1/k)^2 在k>=2時小於 9/4

    所以在k>=2時,5> 2*9/4 = 9/2 >= (k+1)^2 / k^2

    所以5^(k+1) = 5^k * 5 > (2^k * k^2) * 2 * (k+1)^2 / k^2 = 2^(k+1) * (k+1)^2

    (因5^k > (2^k * k^2))

    所以根據數學歸納法,n為自然數時皆成立。

    2006-06-15 00:29:38 補充:

    9/4是來自k=2時,(k+1)^2 / k^2 = (2+1)^2 / 2^2 = 9/4

    chuchu的解法比較短,不過需要知道(甚至證明)2^n>n^2 if n>4

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