加油加油 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

關於因數與倍數的數學問題?

a、b、c、d為互異的自然數,試証:(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)恆為12的倍數。

2 個解答

評分
  • 1 0 年前
    最佳解答

    我的想法前半和chuchu類似,但後半不一樣(比較囉唆)。a,b,c,d有4個數,但除以3只有三種餘數(0,1,2),所以根據鴿籠原理,a,b,c,d至少有兩個數除以3的餘數是相同的,相減即為3的倍數。故原式是3的倍數。C(4,2)=6,所以原式把4數兩兩相減的情況都列出來了。倘若4數是:4偶,顯然原式是64的倍數3偶1奇,3偶兩兩相減產生C(3,2)=3個偶數,原式是8的倍數2偶2奇,2偶相減產生一個偶數,2奇相減產生一個偶數,原式是4的倍數1偶3奇,3奇兩兩相減產生C(3,2)=3個偶數,原式是8的倍數4奇,顯然原式是64的倍數故原式必為4的倍數。綜合以上,原式是3的倍數且是4的倍數,故原式是12的倍數。

    參考資料: 我這個采石磯邊題詩的人的頭腦
  • chuchu
    Lv 5
    1 0 年前

    令k=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c) (b-d)(c-d)

    a,b,c,d互異,4數用3除餘數可能為0,1,2

    必有2數用3除餘數相同(鴿籠原理)

    不妨設為a,b,(a-b)為3的倍數,k為3的倍數

    4數中若有1數為4的倍數,則k為4的倍數

    4數中若無4的倍數,用4除餘數可能為1,2,3

    必有2數用4除餘數相同,則k為4的倍數

    綜合以上k為12的倍數

還有問題?馬上發問,尋求解答。