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KEiRay 發問時間: 教育與參考考試 · 2 0 年前

[工程數學]急!!

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X^2 y\'\'+7xy\'+9y=27lnx , for x>0

y=?

1 個解答

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  • 2 0 年前
    最佳解答

    x2y"+7xy'+9y=27lnx , for x>0令 x=et => t=lnx, dt/dx=1/xy'=dy/dx=(dy/dt)(dt/dx)=(dy/dt)(1/x)=> xy'=dy/dty"=d2y/dt2=(d/dx)(dy/dx)=(d/dx)[(dy/dt)(1/x)]  =(d/dx)(dy/dt)(1/x)+(dy/dt)(d/dx)(1/x)  =(d/dt)(dy/dt)(dt/dx)(1/x)+(dy/dt)(-1/x2)  =(d2y/dt2)(1/x2)+(dy/dt)(-1/x2)x2y"=(d2y/dt2)-(dy/dt)代入原式  x2y"+7xy'+9y=27lnx=> (d2y/dt2)-(dy/dt)+7(dy/dt)+9y=27t=> (d2y/dt2)+6(dy/dt)+9y=27t ...(1)特徵方程式 λ2+6λ+9=0 => (λ+3)2=0 => λ=-3,-3  yh=c1e-3t+c2te-3t設 yp=At+B, dyp/dt=A, d2yp/dt2=0代入(1)式  6A+9(At+B)=27t=> 9At+(6A+9B)=27t=> 9A=27, 6A+9B=0=> A=3, B=-2∴ yp=3t-2通解   y=yh+yp    =c1e-3t+c2te-3t+3t-2    =c1x-3+c2x-3lnx+3lnx-2

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