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言魂 發問時間: 科學數學 · 2 0 年前

何謂馬克勞林級數請解釋

馬克勞林級數說e=Σk=0∞(1/k!)是可以證的出來嗎還是定義

馬克勞林級數說e=Σk=0∞(1/k!)是可以證的出來嗎還是定義

馬克勞林級數說e=Σk=0∞(1/k!)是可以證的出來嗎還是定義

希望你們看的懂那個西格馬

1 個解答

評分
  • 2 0 年前
    最佳解答

    還沒完

    如果e^x可以用冪級數表示的話,確實就是 Σ x^k/k!, k=0,1,2.....

    我們接下來要證明e^x是否等於它的泰勒級數表示式?

    先介紹泰勒不等式

    If |f^(n+1)(x)|≦ M for |x- a|≦d, then the remainder Rn (x) of the Taylor series

    Satisfies the inequality

    |Rn (x) |≦ [ M/ (n+1)! ]‧|x-a|^n+1 for |x- a|≦d

    Prove :

    If f(x) is e^x , then f(n+1)(x) = e^x for all n . If d is any positive number and |x|≦d,

    then |f^(n+1)(x)|= e^x ≦ ed So Taylor’s inequality, with a= 0 and M =

    says that

    |Rn (x) |≦ [e^d / (n+1)! ]‧|x|^n+1 for |x|≦d

    注意 M= e^d for every value of n.

    由於我們已知 Σ x^k/k!, k=0,1,2..... = 0 for all real number x

    所以 [e^d / (n+1)! ]‧|x|^n+1 = e^d ‧[|x|^n+1 / (n+1)! ] = 0 as n→∞

    It follows from the Squeeze Theorem that lim n→∞ |Rn (x) |=0

    For all x . So is equal to the sum of its Macclaurin series:

    e^x = Σ x^k/k!, k=0,1,2..... 得證 再令x =1 即可得

    e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + …

    不知看不看得懂 f^(n+1)(x) 是F(x) 微分n+1次的意思

    " ^ " 是次方之意

    參考資料: 好累喔
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