關於兩題數學題目

Question

1.設n為正整數,且n平方+9n為完全平方數,則n有多少組解?

2.若x,y屬於整數,則x分之2+y分之3=1有幾組解?

Answer 1

最佳解答

1.因為n為正整數，故設n^2+9n = (n+m)^2，其中m為亦為正整數。則

n^2+9n = (n+m)^2 = n^2+2mn+m^2，故得m^2+(2m-9)n=0。由上式得知2m-9<0，亦即 1<=m<=4。代入上式得

m=1, n=1/7(不合)；m=2, n=4/5(不合)；m=3, n=3；m=4, n=16。

故n有兩組解。

2. 可將原式2/x+3/y=1寫為x=2y/(y-3)，則由上式可知，當y為很大的正整數或很小的負整數時，x的值會趨近2。因為x是整數，故以最接近之整數1及3分別代入上式，得y=-3及9。故將y以-3至9的整數代入上式，得

(x,y)=(-4,2),(-1,1),(1,-3),(3,9),(4,6),(5,5),(8,4)符合原式。

故共有七組解。