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黑桃ㄟ死 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

高微:歐式空間

If k>=2 and x€R^k, prove that there exists y€R^k such that y不等於0 but

x‧y=0. Is this also true if k=1?

4 個解答

評分
  • Eric
    Lv 6
    1 0 年前
    最佳解答

    Claim. If k ≥ 2 and x ∈ Rk, there exists y ∈ Rk such y ≠ 0 but x‧y = 0.Proof. This will be a constructive proof. Say x = (x1, ..., xk). There are two cases:(Case 1.) If xi = 0 for some i, then setting y = ei (the ith standard basis vector, whose ith component is 1 and all other components are 0) leads to x‧y = 0.(Case 2.) Otherwise, xi ≠ 0 for all i. Define y = (y1, ..., yk) by y1 = -x2y2 = x1yi = 0 for all i > 2, i ≤ k.Clearly, y ≠ 0 andx‧y = Σ xiyi = x1(-x2) + x2x1 = 0. ∎Remark.  This does not hold for k = 1; for a counterexample, choose x = 1. Clearly, there is no non-zero real number y such that xy = 0.

  • 匿名使用者
    7 年前

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  • 1 0 年前

    考慮 L = {cx: c 為實數} 這條一維的線,由於整個空間不止一維,所以有一些不在 L 上的點,固定一個這樣的點,稱為 y 好了,考慮令 ||y - cx|| 這個函數(as a function of c) 為最小時的 c,稱為 a 好了。那麼,y - ax 跟 x 的 inner product 必為 0。此法的優點是,這證明對於任意的 inner product space 都是成立的,例如 L^2([0, 1]),而 cgkm 的證明只針對 R^k 而設計。

  • 1 0 年前

    喔 原來這樣就好了啊 我還在想是不是要用到線性獨立什麼的來解勒

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