klose red 發問時間: 教育與參考考試 · 1 0 年前

一題工程數學........麻煩大家......

(1+X^2)y\"-2xy\'+2y=0

求一般解 謝謝...........

4 個解答

評分
  • 龍昊
    Lv 7
    1 0 年前
    最佳解答

    基本觀念:  以下公式是由 method of reduction of order 推導而來,建議上考場前記起來,以節省中間繁複計算的時間;若由題目可觀察到或給定一個解 y1,且方程式之型式如下:y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0  則求解另一解 y2 之方法為:U = ( 1/y12 )exp[∫- P(x)dx ]y2 = y1∫Udx  有了以上的觀念,我們就能來解算這著題目。*Problem:( 1 + x2 )y'' - 2xy' + 2y = 0 , find general solution of y = ?sol:  由原式得:y'' - [ 2x/( 1 + x2 ) ] y' + [ 2/( 1 + x2 ) ] y = 0  → P(x) = - 2x/( 1 + x2 )    Q(x) = 2/( 1 + x2 )  由觀察可知 y1 = x 為其中一解。  U = ( 1/y12 )exp[∫- P(x)dx ]   = ( 1/x2 )exp{∫[ 2x/( 1 + x2 ) ]dx }   = ( 1/x2 )exp{∫[ 1/( 1 + x2 ) ]d( 1 + x2 ) }   = ( 1/x2 )exp[ ln│1 + x2 │]   = ( 1/x2 )( 1 + x2 )   = 1 + ( 1/x2 )  y2 = y1∫Udx   = x∫[ 1 + ( 1/x2 ) ]dx   = x [ x - ( 1/x ) ]   = x2 - 1  general solution:y = y1 + y2  → y = x2 + x - 1 #*  以上過程應該都很詳細了,若還有疑問請再提出;希望以上回答能幫助您。

    參考資料: 自己
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  • 1 0 年前

    設二階線性ODE為

    y''+P(x)y'+Q(x)y=R(x)

    P(x)=-2x/(1+x^2)

    Q(x)=2/(1+x^2)

    由判別式

    P(x)+xQ(x)=-2x/(1+x^2)+2x/(1+x^2)=0

    知x為原式之齊性解

    y=xv,

    y'=xv'+v,y''=xv''+2v'

    代回原式,得

    (1+x^2)xv''+v'=0

    lnv'=∫-1/x(1+x^2) dx

    = ∫[2x/(1+x^2)-2/x]dx

    = ln(1+x^2)-2lnx+c1

    v' = c1(1+1/x^2)

    v = c1∫(1+1/x^2)dx

    = c1(x-1/x)+c2

    通解為

    y= xv

    = c1(x^2-1)+c2x ((c1,c2為常數

    參考資料: 自己
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  • 1 0 年前

    如果題目無誤的話

    這種變係數的二階微分方程

    好像解不出來...

    (我自己應該把能試的都試過了)

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  • 1 0 年前

    (1+X平方)Y-2XY+2Y=0

    Y+XY平方-2XY+2Y=0

    答案~> XY^2-2XY+3Y=0

    PS.我是用高中算法~.~

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