發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

面積比公式證明

公式:

△ABC中有一點P,使得 aAP向量 + bBP向量 + cCP 向量= 0,則

△PBC:△PAC:△PAB = |a|:|b|:|c|

誰可以幫我證明此公式

2 個解答

評分
  • 1 0 年前
    最佳解答

    令 aAP向量 = A’P向量

    bBP向量 = B’P向量

    cCP向量 = C’P向量 使得 P 為△A’B’C’ 之外心,

    首先,先看看外心的特色,即

    A’P = B’P = C’P 以及 △PB’C’ = △PA’C’ = △PA’B’ ,可由這兩個已知的外心性質著手。

    先看△PBC和△PB’C’的面積比,

    △PBC:△PB’C’ = 1/2 (BP)(CP)(sin x):1/2 (B’P)(C’P)(sin x)

    = ( 1 )( 1 ) : ( b )( c )

    也就是 △PBC = (1 / bc)△PB’C’

    同理可證:△PAC = (1 / ac)△PA’C’

    △PAB = (1 / ab)△PA’B’

    在加上外心的性質 △PB’C’ = △PA’C’ = △PA’B’

    故 △PBC:△PAC:△PAB = 1/ bc:1/ac:1/ab

    = a:b:c

    = |a|:|b|:|c|

    因為面積比為純數,所以加絕對值去掉正負號。

    --

    希望有解決你的問題^^

    抱歉~上標記號只能用全形的= =

    參考資料: 偉大的數學之神
  • 1 0 年前

    延伸BP交AC於D,令PB:PD=t:s;PA:PC=m:n(且令m+n=1)。

    利用向量公式可知:(以下為向量)

    PD=nPA+mPC。

    tPD+sPB=0。

    因此可以簡單得到:

    nPA+mPC+(s/t)PB=0

    另外,不難用同底(AC)來看出△面積比為△PBC:△PAB:△PCA=n:m:(s/t)。兩式的系數是一致的。

    這不是一個很嚴謹的証明,但希望有幫助閣下瞭解為何有這樣的關係。

還有問題?馬上發問,尋求解答。