阿姓 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

一題高中數學題目

一題高中數學題目,要麻煩各位幫忙解答!

x,y屬於R,若x²- 4xy+ 5y²- 8y+ 6x+ 13 = 0,則數對〈x,y〉=

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評分
  • Sonia
    Lv 5
    1 0 年前
    最佳解答

    x²- 4xy+ 5y²- 8y+ 6x+ 13 = 0x²- (4xy- 6x)+( 5y²- 8y+ 13) = 0x²- (4y- 6)x+( 5y²- 8y+ 13) = 0公式:二次方程式 ax²+bx+c=0 中,若x屬於R,則判別式 b²-4ac大於等於0b²-4ac=(4y-6)²-4(5y²- 8y+ 13)      =16y²-48y+36-20y²+32y-52      =-4y²-16y-16      =-4(y²+4y+4)      =-4(y+2)²要大於等於0但-4(y+2)²不可能會大於0,所以-4(y+2)²=0,則y=-2代入方程式x²- (4y- 6)x+( 5y²- 8y+ 13) = 0             x²- (-8- 6)x+( 20+16+ 13) = 0           x²+14x+49 = 0          (x+7)² = 0           x=-7所以數對 〈x,y〉=〈-7,-2〉

  • 1 0 年前

    解法<一>:強迫配方,對 x 做集項,先將 x 配成完全平方。處理完 x ,再處理餘項。  x² - 4xy + 5y² - 8y + 6x + 13 = 0⇒ x² - 2x ( 2y - 3 ) + 5y² - 8y + 13 = 0⇒ x² - 2x ( 2y - 3 ) + ( 2y - 3 )² - ( 2y - 3 )² + 5y² - 8y + 13 = 0⇒ ( x - 2y + 3 )² - ( 4y² - 12y + 9 ) + 5y² - 8y + 13 = 0⇒ ( x - 2y + 3 )² + y² + 4y + 4 = 0⇒ ( x - 2y + 3 )² + ( y + 2 )² = 0⇒ 定義在實數的 x 、 y ,唯有 x - 2y + 3 = 0 且 y - 2 = 0 ,等式才成立。⇒ 解聯立得數對 ( x , y ) = ( -7 , -2 )解法<二>:強迫配方,對 y 做集項,先將 y 配成完全平方。處理完 y ,再處理餘項。過程與<一>類似,但配係數部份比較煩複。直接打上結果:( √5 y - ( 2x + 4 ) / √5 )² + ( x + 7 )² / 5 = 0⇒ ( 5y - 2x - 4 )² / 5 + ( x + 7 )² / 5 = 0⇒ 唯有 5y - 2x - 4 = 0 且 x + 7 = 0 ,等式才成立。⇒ 解聯立得數對 ( x , y ) = ( -7 , -2 )解法<三>:原方程式 → 增肥 → 消項 → 減肥 。令 x = X + α 、 y = Y + β 代回原方程式 { X = x - α 、 Y = y - β }⇒ (X+α)² - 4 (X+α) (Y+β) + 5 (Y+β)² - 8 (Y+β) + 6 (X+α) + 13 = 0⇒ X² - 4XY + 5Y² + (6+2α-4b) X + (-8-4a+10b) Y + f(a,b) = 0上式 f(a,b) = a² - 4ab + 5b² - 8b + 6a + 13 係數與原方程式相同;選擇消去 X 的一次項與 Y 的一次項,則令 X 、 Y 的係數為零⇒ 6+2a-4b = 0 、 -8-4a+10b = 0 ⇒ a = -7 、 b = -2重新整理新方程式 X² - 4XY + 5Y² + f(-7,-2) = 0⇒ X² - 4XY + 5Y² = 0 { ∵ f(-7,-2) = 0 }⇒ ( X - 2Y )² + Y² = 0 { 強迫配方 } ⇒ ( X , Y ) = ( 0 , 0 )⇒ ( x + 7 , y + 2 ) = ( 0 , 0 ) ⇒ ( x , y ) = ( -7 , -2 )

    2006-09-12 01:42:11 補充:

    解法<三>與解法<一>的應用大致相同,但其過程卻將方程式先複雜再行簡化,似乎多走了點路。但解法<三>應用了對變數、不定元、未知數的平移觀念,對於解部份代數問題偶有幫助,甚至可應用在解微積分、解微分方程式或其他。

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