高中數學!!點到直線的距離!求詳解及題意!!!麻煩

Question

點Ｐ(x.y)為直線3x+4y=1上之點,則x平方+y平方-2x-4y+6之最小值為???! 題目一字不漏!!!實在不懂題意及解題過程的原由!!!!! 麻煩解答!!!!!!感謝

Answer 1

最佳解答

我用別的方式來解吧!先從x^2+y^2-2x-4y+6=(x-1)^2+(y-2)^2+1所以它是一個圓方程式 點P在3x+4y=1上

圓方程式:(x-1)^2+(y-2)^2+1

直線方程式L1:3x+4y=1

找一條直線垂直L1並通過圓心的直線L2:4x-3y=-2,L1和L2的交點:(-1/5,2/5)和圓方程式的距離:((-1/5-1)^2+(2/5-2)^2+1)的平方根=5的平方根

2006-09-13 16:44:52 補充：

上面的忘記開平方根了!所以不對!

2006-09-13 16:47:17 補充：

我的是錯啦!抱歉!上面的對!

Answer 2

實在也不用那麼麻煩啦!!

當 x=0 y=4/1....四分之一 時代入題目中就變成

(-2)*0 - 4*1/4 + 6=0- 1+6 = 5 (4 * 1/4 相約等於 1)

算法很多只是答案都一樣--

參考資料： 我

Answer 3

依代數來看，就如毛毛的解法一樣。

依幾何來看，x^2+y^2-2x-4y+6=(x-1)^2+(y-2)^2+1。

點(1,2)到直線3x+4y=1的距離為|3×1+4×2-1|/√(3^2+4^2)=2。

故所求為2^2+1=5。

[(x-1)^2+(y-2)^2的最小值就是點到直線距離的平方]

Answer 4

因為P點在3x+4y=1上

故可令P點為[t,(1-3t)/4]

帶入

x^2+y^2-2x-4y+6

=t^2+[(1-3t)/4]^2-2t-4[(1-3t)/4]+6

=t^2+1/16-3t/8+(9t^2)/16-2t-1+3t+6

=(25t^2)/16+5t/8+81/16

=(25/16)[t^2-2t/5]+81/16 利用配方法

=(25/16)[t^2-2t/5+1/25]-1/25×25/16+81/16

=(25/16)(t-1/5)^2-1/16+81/16

=[25(t-1/5)^2]/16+5 (開口朝上的拋物線)

當t=1/5時有最小值5

參考資料： me