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޳޳ 發問時間: 教育與參考考試 · 1 0 年前

求YP及尤拉科西

(1)(D^2-4D+3) y= 2xe^3x+3e^x(cos2x)← cos2x是後面乘的數

這一題要用第二個方法算(不知是不是叫微分算子)

(2)yy"= 2( y')←這一題是尤拉科西,要假設y'=Z,y"= (dy/dz)z

已更新項目:

題目是這樣子的

( D^2 - 4D + 3 ) y = 2xe^3x + 3e^2x ( cos 2x )

很抱歉當初沒想到會讓人誤解

2 個解答

評分
  • ?
    Lv 7
    1 0 年前
    最佳解答

      ㄝ~~抱歉,題目是這樣↓

    ( D^2 - 4D + 3 ) y = 2xe^3x + 3e^2x ( cos 2x )

      還是↓

    ( D^2 - 4D + 3 ) y = ( 2xe^3x + 3e^2x ) cos 2x

      抱歉,因為最近很多網友沒有按照先乘除後加減的規則打數學式,所以我才有此疑慮。

    2006-12-02 14:03:32 補充:

      再冒昧請問一下,第 2. 題題目有無抄錯?我的經驗是 yy'' + 2( y' )^2 這樣才比較有可能算出來,如果您題目沒抄錯的話,那就讓我再想一想吧。

    2006-12-03 11:34:34 補充:

    還是我用 yy'' = 2( y' )^2 來解一次;看你囉!

    2006-12-03 23:33:08 補充:

    1. ( D2 - 4D + 3 ) y = 2xe3x + 3ex cos 2xsol:  D2 - 4D + 3 = 0 → ( D - 1 )( D - 3 ) = 0  → D = 1 , 3 ~ 相異實根  → yh = c1ex + c2e3x ~ 齊次解 ( homogeneous solution )  利用未定係數法 ( method of undetermined coefficient ) 求特解 yp。  令:yp = x ( Ax + B )e3x + ex ( C cos 2x + D sin 2x )      = ( Ax2 + Bx )e3x + ex ( C cos 2x + D sin 2x )  → Dyp = ( 2Ax + B )e3x + 3( Ax2 + Bx )e3x + ex ( C cos 2x + D sin 2x )        + ex ( - 2C sin 2x + 2D cos 2x )    D2yp = 2Ae3x + 6( 2Ax + B )e3x + 9( Ax2 + Bx )e3x - 2ex ( C cos 2x + D sin 2x )        + 2ex ( - 2C sin 2x + 2D cos 2x )  ( D2 - 4D + 3 ) yp = 2xe3x + 3ex cos 2x  → 2Ae3x + 2( 2Ax + B )e3x - 3ex ( C cos 2x + D sin 2x ) - 2ex ( - 2C sin 2x + 2D cos 2x ) = 2xe3x + 3ex cos 2x  比較係數得:4A = 2 → A = 0.5        2A + 2B = 0 → B = - 0.5        - 3C - 4D = 3 → C = - 0.36        4C - 3D = 0   D = - 0.48  → yp = 0.5( x2 - x )e3x - ex ( 0.36 cos 2x + 0.48 sin 2x ) ~ 特解 ( particular solution )  通解:y = yh + yp  → y = c1ex + c2e3x + 0.5( x2 - x )e3x - ex ( 0.36 cos 2x + 0.48 sin 2x ) #*2. yy'' = 2( y' )2sol:  令:y' = z(y) → y'' = ( dy'/dx ) = ( dz/dx ) = ( dy/dx )( dz/dy )            = zz'  原式可寫為:yzz' = 2z2  → yzz' - 2z2 = 0 → z( yz' - 2z ) = 0  即:yz' - 2z = 0、z = 0  由:yz' - 2z = 0 → y( dz/dy ) = 2z  →∫( 1/z )dz =∫( 2/y )dy + b1  → ln│z│= 2 ln│y│+ b1  等號兩邊同取指數 → z = y2eb1  → y' = y2eb1 → ( dy/dx ) = y2eb1  →∫( 1/y2 )dy =∫eb1 dx + b2  → - ( 1/y ) = xeb1 + b2  → ( 1/y ) = - xeb1 - b2  令 - eb1 = c1、- b2 = c2  → ( 1/y ) = c1x + c2 ~ 通解 ( general solution )  由 z = 0 → y' = 0 → ( dy/dx ) = 0  →∫dy =∫0 × dx + c3  → y = c3 ~ 異解 ( singular solution ),可視為通解的一部份。*  我只是把過程寫的比較詳細,所以看起來計算過程很多,一般考試的時候可以把一些步驟刪除;麻煩再請您對一下答案,若跟答案不一樣大家在來研究一下;希望以上回答能幫助您。

    參考資料: 自己
  • 1 0 年前

    拍謝哦

    是後面那一項的乘積而已

    前面只是 2xe^3x

    2006-12-03 00:28:16 補充:

    拍謝,好像抄錯了(印象中題目好像有平方)

    可是又覺得還有別的地方有問題

    因為我只是想確定答案對不對,結果發現解起來完全不同

    明天到學校後,馬上更改題目(現在手上沒有題目

    真是抱歉

    2006-12-03 14:56:02 補充:

    嗯,題目改為 yy'' = 2( y' )^2

    還有一個地方,就是那個地方覺得一直有問題,才不敢跟你確定題目

    這個地方改為y"= (dz/dy)z

    當初趕時間,沒有仔細校對一次

    接下來就麻煩你嚕,解完我再來對答案,看跟我的是否相同

    2006-12-04 13:41:32 補充:

    第一題我們要的不是這種解法

    舉個例子

    y"+2y'+5y=3+2e^x-e^-x

    解:

    yp=1/(D^2+2D+5)*(3+2e^x-e^-x)

    =3/5+1/2sinhx

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