求YP及尤拉科西

Question

（1）（D^2-4D+3） y= 2xe^3x+3e^x（cos2x）← cos2x是後面乘的數
這一題要用第二個方法算（不知是不是叫微分算子）
（2）yy"= 2（ y'）←這一題是尤拉科西，要假設y'=Z，y"= （dy/dz）z

? · Accepted Answer

ㄝ~~抱歉，題目是這樣↓

( D^2 - 4D + 3 ) y = 2xe^3x + 3e^2x ( cos 2x )

還是↓

( D^2 - 4D + 3 ) y = ( 2xe^3x + 3e^2x ) cos 2x

抱歉，因為最近很多網友沒有按照先乘除後加減的規則打數學式，所以我才有此疑慮。

2006-12-02 14:03:32 補充：
　　再冒昧請問一下，第 2. 題題目有無抄錯？我的經驗是 yy'' + 2( y' )^2 這樣才比較有可能算出來，如果您題目沒抄錯的話，那就讓我再想一想吧。

2006-12-03 11:34:34 補充：
還是我用 yy'' = 2( y' )^2 來解一次；看你囉！

2006-12-03 23:33:08 補充：
1. ( D2 - 4D + 3 ) y = 2xe3x + 3ex cos 2xsol：　　D2 - 4D + 3 = 0 → ( D - 1 )( D - 3 ) = 0　　→ D = 1 , 3 ～ 相異實根　　→ yh = c1ex + c2e3x ～ 齊次解 ( homogeneous solution )　　利用未定係數法 ( method of undetermined coefficient ) 求特解 yp。　　令：yp = x ( Ax + B )e3x + ex ( C cos 2x + D sin 2x )　　　　　 = ( Ax2 + Bx )e3x + ex ( C cos 2x + D sin 2x )　　→ Dyp = ( 2Ax + B )e3x + 3( Ax2 + Bx )e3x + ex ( C cos 2x + D sin 2x )　　　　　   + ex ( - 2C sin 2x + 2D cos 2x )　　　 D2yp = 2Ae3x + 6( 2Ax + B )e3x + 9( Ax2 + Bx )e3x - 2ex ( C cos 2x + D sin 2x )　　　　　　  + 2ex ( - 2C sin 2x + 2D cos 2x )　　( D2 - 4D + 3 ) yp = 2xe3x + 3ex cos 2x　　→ 2Ae3x + 2( 2Ax + B )e3x - 3ex ( C cos 2x + D sin 2x ) - 2ex ( - 2C sin 2x + 2D cos 2x ) = 2xe3x + 3ex cos 2x　　比較係數得：4A = 2 → A = 0.5　　　　　　　　2A + 2B = 0 → B = - 0.5　　　　　　　　- 3C - 4D = 3 → C = - 0.36　　　　　　　　4C - 3D = 0　　 D = - 0.48　　→ yp = 0.5( x2 - x )e3x - ex ( 0.36 cos 2x + 0.48 sin 2x ) ～ 特解 ( particular solution )　　通解：y = yh + yp　　→ y = c1ex + c2e3x + 0.5( x2 - x )e3x - ex ( 0.36 cos 2x + 0.48 sin 2x ) #*2. yy'' = 2( y' )2sol：　　令：y' = z(y) → y'' = ( dy'／dx ) = ( dz／dx ) = ( dy／dx )( dz／dy )　　　　　　　　　   = zz'　　原式可寫為：yzz' = 2z2　　→ yzz' - 2z2 = 0 → z( yz' - 2z ) = 0　　即：yz' - 2z = 0、z = 0　　由：yz' - 2z = 0 → y( dz／dy ) = 2z　　→∫( 1／z )dz =∫( 2／y )dy + b1　　→ ln│z│= 2 ln│y│+ b1　　等號兩邊同取指數 → z = y2eb1　　→ y' = y2eb1 → ( dy／dx ) = y2eb1　　→∫( 1／y2 )dy =∫eb1 dx + b2　　→ - ( 1／y ) = xeb1 + b2　　→ ( 1／y ) = - xeb1 - b2　　令 - eb1 = c1、- b2 = c2　　→ ( 1／y ) = c1x + c2 ～ 通解 ( general solution )　　由 z = 0 → y' = 0 → ( dy／dx ) = 0　　→∫dy =∫0 × dx + c3　　→ y = c3 ～ 異解 ( singular solution )，可視為通解的一部份。*　　我只是把過程寫的比較詳細，所以看起來計算過程很多，一般考試的時候可以把一些步驟刪除；麻煩再請您對一下答案，若跟答案不一樣大家在來研究一下；希望以上回答能幫助您。

޳޳ · Answer

拍謝哦
是後面那一項的乘積而已
前面只是 2xe^3x

2006-12-03 00:28:16 補充：
拍謝，好像抄錯了（印象中題目好像有平方）
可是又覺得還有別的地方有問題
因為我只是想確定答案對不對，結果發現解起來完全不同
明天到學校後，馬上更改題目（現在手上沒有題目
）
真是抱歉

2006-12-03 14:56:02 補充：
嗯，題目改為 yy'' = 2( y' )^2
還有一個地方，就是那個地方覺得一直有問題，才不敢跟你確定題目
這個地方改為y"= （dz/dy）z
當初趕時間，沒有仔細校對一次
接下來就麻煩你嚕，解完我再來對答案，看跟我的是否相同

2006-12-04 13:41:32 補充：
第一題我們要的不是這種解法
舉個例子
y"+2y'+5y=3+2e^x-e^-x
解：
yp=1/（D^2+2D+5）*（3+2e^x-e^-x）
=3/5+1/2sinhx

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