高中數學~~多項式~~

Question

1.設 x^3 - 2x^2 - x + 14 = 0 有一根為 ( 2+根號3 i )，若將此方程式的三根在複數平面上標出，則此三點所構成的三角形面積為多少?

Ans:( 4根號3 )

2.設 k 是實數，f(x) = x^2 + kx- 3，g(x) = x^3 - 3x^2 - x + 3

(1)f(x)‧g(x)有一次的最高公因式，則 k=?

(2)若f(x)‧g(x)有二次最高公因式，則此最高公因式為?

Ans:(1) k=2

(2) x^2 - 2x - 3

詳解喔~~最好有中文註解喔~~謝謝各位高手喔~~!

Answer 1

最佳解答

1.

已知一根為x=2+√3i

因為複數根一定成共軛出現 所以另一根為x=2-√3i

x=2±√3i

x-2=±√3i

(x-2)^2=x^2-4x+4=-3 =>x^2-4x+7=0

利用長除法 可求出原式的另一個因式

x^3-2x^2-x+14=(x+2)(x^2-4x+7)=0

所以x=-2，2±√3i

在複數平面上畫出三個點後，可以很明顯地看出底和高

三角形面積=2√3*4/2=4√3

2.

g(x)=x^3-3x^2-x+3

=x^2(x-3)-(x-3)

=(x^2-1)(x-3)

=(x+1)(x-1)(x-3)

(1)假設f(x)含有(x+1)的因式，則f(x)=(x+1)(x-3)

(則最高公因式為(x+1)(x-3)，不合題目規定)

假設f(x)含有(x-1)的因式，則f(x)=(x-1)(x+3)

(則f(x)與g(x)最高公因次為(x-1)，OK)

假設假設f(x)含有(x-3)的因式，則f(x)=(x-3)(x+1)

(則最高公因式為(x-3)(x+1)，不合題目規定)

所以f(x)=(x-1)(x+3)=x^2+2x-3 =>k=2

(2)f(x)=(x+1)(x-3)=x^2-2x-3 (從第一題的計算過程看出來的)