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心型圈 發問時間: 教育與參考考試 · 1 0 年前

圓與直線的高中數學問題X5

我是個家教老師 今天在幫學生解問題時有幾題解不出來

學生又接近期中考 請各位大大幫幫我吧!!

1.直線x-y-1+√2=0與圓X2(平方)+Y2(平方)=3相交於P Q兩點試求之長PQ線段的長

2.已知直線L:X-Y+3=0與圓C:X2(平方)+Y2(平方)=9交於A(0,3) B(a,b)兩點則, a+b=?

3.試求直線L:X-2Y-5=0與圓C:X2(平方)+Y2(平方)-2X+4Y=0的交點座標?

4.不論k為任何實數,圓方程式X2(平方)+Y2(平方)+kX+kY-2Y-k-1=0恆過定點(a,b)及(c,d)(其中a>c),則a+b+c+d=?

5.若直線L:3X+kY+k=0與圓C:X2(平方)+Y2(平方)+2X-4Y-4=0恰有兩個交點,試求k的範圍?

拜託各位大大了..先感謝你們了!!

2 個解答

評分
  • 星魂
    Lv 5
    1 0 年前
    最佳解答

    1.

    此題沒叫你算P、Q點,所以你不用去算P、Q點,只要算出PQ線長,既然他和圓有兩個交點,表示PQ線段是圓上的一弦,你就去求圓心到直線x-y-1+√2=0的距離,而該圓的半徑是√3,由這兩個條件去畫直角三角形,就可以求出1/2的PQ線長,再乘以2就可以得到PQ了。

    解:圓心到直線x-y-1+√2=0的距離 = │-1+√2│√2 = (√2-1 )/√2=1- √2/2

    所求PQ長:2*√[(√3)^2 - (1 - √2/2)^2 ] = 2*√[3 - (1 - √2 + 1/2)]

    = 2*√[3/2 + √2] (根號內通分然後分母提出根號)

    = 2/√2 *√[ 3 + 2√2 ] = √2(√2 - 1) = 2 + √2

    相關雙根號怎麼提出來,就是√[ 3+2√2 ] 為什麼會等於√2- 1,我在下面的網址有解釋,你可以去看看。

    http://tw.knowledge.yahoo.com/question/?qid=120611...

    2.

    將直線變成X = Y - 3....代入圓方程式,可得:2Y^2 - 6Y = 0 => Y= 0、3

    所以將Y代入直線方程式,可得交點(X , Y) = (-3 , 0)或(0 , 3)

    故(a , b) = (-3 , 0) => a + b = - 3

    3.

    直線變成X = 2Y + 5....代入圓方程式,可得:5Y^2 + 20Y + 15= 0

    => Y^2 + 4Y + 3= 0 => (Y+3)(Y+1) = 0 => Y= -3、-1

    所以將Y代入直線方程式,可得交點(X , Y) = (-1 , -3)或(-1 , 3)

    4.

    將圓方程式做整理,有k的和沒k的分開:

    (X^2 + Y^2 - 2Y - 1) + k(X + Y - 1) = 0,則恆過的定點為:

    X^2 + Y^2 - 2Y - 1= 0 ------(1)與 X + Y - 1= 0......(2)

    由(2):X = 1 - Y 代入(1)可得:2Y^2 - 4Y = 0 => Y= 0、2....代入(1)

    可得定點(X , Y) = (1 , 0)或(-1 , 2)

    因為a > c,所以(a , b , c , d) = (1 , 0 , -1 , 2)

    即 a+b+c+d = 2

    5.

    由直線L:3X+kY+k=0 => 3X + k(Y + 1) = 0 ,故L也過一定點(0 , -1)

    可假設過點(0 , -1)且斜率為m的直線方程式為:Y = mX - 1 ..代入圓方程式可得:

    X^2 + (mX - 1)^2 + 2X - 4(mX - 1) - 4 = 0

    => X^2(m^2 + 1) + X(- 6m + 2) + 1 = 0

    因為恰有兩解,所以上式之判別式大於0:

    (- 6m + 2)^2 - 4(m^2 + 1) > 0

    => 8m^2 - 6m > 0

    => m(4m - 3) > 0

    => m > 3/4,m < 0

    參考資料:
  • ?
    Lv 7
    1 0 年前

    那叫學生上yahoo知識+就好啦

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