promotion image of download ymail app
Promoted
Cici Lin 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

高微”metric”証明

M=R[n](R的n維)

Define d1(X,Y)=|X1- Y1|+...+|Xn-Yn|

d2(X,Y)={ (X1-Y1)平方 +...+ (Xn-Yn)平方 }開平方根

d3(X,Y)=max{|X1- Y1|+...+|Xn-Yn|}

where X=(X1,...,Xn) and Y=(Y1,...,Yn) in R[n]

show that d1 and d2 and d3 are metric.

謝謝詳述

已更新項目:

謝謝你的詳述~

不好意思給你添麻煩了^^

下次我會把題目分開來~不好意思^^

2 個已更新項目:

有點看不懂d2的第4個性質~

2 個解答

評分
  • prime
    Lv 4
    1 0 年前
    最佳解答

    假設 X = ( X1, ... ,Xn ), Y = ( Y1, ... , Yn ), Z = ( Z1, ... , Zn )

    I. d1

    (1) d1 (X,Y) >= 0. trivial.

    (2) 若 d1(x,y)= 0. 所以 | X1- Y1 | + ... + | Xn - Yn | = 0.

    故 | X1 - Y1 | = ... = | Xn - Yn | = 0.

    因此 X1 = Y1, .... , Xn = Yn. 那就表示 X = Y.

    (3) d1( X, Y )= | X1- Y1 | + ... + | Xn - Yn | = | Y1- X1 | + ... + | Yn - Xn | = d1( Y, X ) [ 絕對值裡面變號, 其值不變 ]

    (4) d1( X, Y ) + d1( Y, Z )

    = | X1- Y1 | + ... + | Xn - Yn | + | Y1- Z1 | + ... + | Yn - Zn |

    = ( | X1- Y1 | + | Y1- Z1 | ) + ... + ( | Xn - Yn | + | Yn - Zn | )

    <= | X1 - Z1 | + ... + | Xn - Zn | [ 對於每個括弧內做三角不等式 ]

    = d1( X, Z )

    II. d2

    (1) d2 (X,Y) >= 0. trivial.

    (2) 若 d2(x,y)= 0. 所以 [ ( X1- Y1 )^2 + ... + ( Xn - Yn )^2 ]^(1/2) = 0.

    故 ( X1 - Y1 )^2 = ... = ( Xn - Yn )^2 = 0.

    因此 X1 = Y1, .... , Xn = Yn. 那就表示 X = Y.

    (3) d2( X, Y )

    = [ ( X1- Y1 )^2 + ... + ( Xn - Yn )^2 ]^(1/2) =

    = [ ( Y1- X1 )^2 + ... + ( Yn - Xn )^2 ]^(1/2) [ 括號裡面變號, 平方後其值不變 ]

    = d2( Y, X )

    (4) 令 Pi = Xi - Yi, Qi = Yi - Zi, i = 1 到 n.

    [ d2( X, Z ) ] ^ 2

    = ( P1 + Q1 )^2 + ... + ( Pn + Qn )^2

    = (P1)^2 + ... + (Pn)^2 + (Q1)^2 + ... + (Qn)^2 + 2 * ( P1 *Q1 + ... + Pn * Qn )

    利用哥西不等式, [ (P1)^2 + ... + (Pn)^2 ] * [ (Q1)^2 + ... + (Qn)^2 ] >= ( P1 *Q1 + ... + Pn * Qn ) ^2

    所以上式

    <= [ (P1)^2 + ... + (Pn)^2 ]+ [ (Q1)^2 + ... + (Qn)^2 ] + 2 * [ (P1)^2 + ... + (Pn)^2 ] ^(1/2) * [ (Q1)^2 + ... + (Qn)^2 ] ^(1/2)

    = [ [ (P1)^2 + ... + (Pn)^2 ]^(1/2) + [ (Q1)^2 + ... + (Qn)^2 ]^(1/2) ]^2

    = [ d2( X, Y ) + d2( Y, Z ) ]^2

    故 d2( X, Z ) <= d2( X, Y ) + d2( Y, Z ).

    2006-12-15 21:49:33 補充:

    . d3

    (1) d3 ( X, Y ) >= 0. trivial.

    (2) 若 d3( X, Y )= 0. 所以 max{ | X1- Y1 | , ... , | Xn - Yn | } = 0.

    故 | X1 - Y1 | = ... = | Xn - Yn | = 0.

    因此 X1 = Y1, ... , Xn = Yn. 那就表示 X = Y.

    2006-12-15 21:50:06 補充:

    (3) d3( X, Y )

    = max{ | X1- Y1 | , ... , | Xn - Yn | }

    = max{ | Y1- X1 | , ... , | Yn - Xn | }

    = d3( Y, X ) [ 絕對值裡面變號, 其值不變 ]

    2006-12-15 21:50:29 補充:

    (4) d3( X, Y ) d3( Y, Z )

    = max { | X1- Y1 | , ... , | Xn - Yn | } max{ | Y1- Z1 | , ... , | Yn - Zn | }

    >= max { ( | X1- Y1 | | Y1- Z1 | ) , ... , ( | Xn - Yn | | Yn - Zn | ) } [ 最大的兩項相加 大於等於 逐項相加取最大 ]

    2006-12-15 21:51:58 補充:

    >= max { | X1 - Z1 | , ... , | Xn - Zn | } [ 對於每個括弧內做三角不等式 ]

    = d3( X, Z )

    詳細證明就超過字數了...

    以後可以麻煩一下把問題拆開成三題, 不然要詳述很困難.

    2006-12-15 21:59:00 補充:

    如果你學過內積, 以R^n標準內積來看

    || x || = < x, x>^(1/2)

    我們有 d2( x, y) = || x - y ||

    然後我們可以簡單證明 || P || || Q || >= || P Q ||

    令 P = x-y, Q = y-z 代入就是 d2 的三角不等式

    2006-12-15 22:00:36 補充:

    (4) d3( X, Y ) d3( Y, Z )

    = max { | X1- Y1 | , ... , | Xn - Yn | } max{ | Y1- Z1 | , ... , | Yn - Zn | }

    >= max { ( | X1- Y1 |+ | Y1- Z1 | ) , ... , ( | Xn - Yn |+ | Yn - Zn | ) } [ 最大的兩項相加 大於等於 逐項相加取最大 ]

    2006-12-15 22:01:04 補充:

    (4) d3( X, Y ) d3( Y, Z )

    = max { | X1- Y1 | , ... , | Xn - Yn | } + max{ | Y1- Z1 | , ... , | Yn - Zn | }

    >= max { ( | X1- Y1 |+ | Y1- Z1 | ) , ... , ( | Xn - Yn |+ | Yn - Zn | ) } [ 最大的兩項相加 大於等於 逐項相加取最大 ]

    2006-12-15 22:01:29 補充:

    如果你學過內積, 以R^n標準內積來看

    || x || = < x, x>^(1/2)

    我們有 d2( x, y) = || x - y ||

    然後我們可以簡單證明 || P ||+ || Q || >= || P+ Q ||

    令 P = x-y, Q = y-z 代入就是 d2 的三角不等式

    2006-12-15 22:07:47 補充:

    max { 1, 2, 4 } = 4

    max { 4 , 2 , 1 } = 4

    max{ 1 + 4 , 2 + 2 , 4 + 1 } = 5

    故 最大的兩項相加 大於等於 逐項相加取最大.

    2006-12-16 20:39:19 補充:

    你看不懂的部份就是哥西不等式, 你可以試試看

    看不懂可以寫信給我.

    • Commenter avatar登入以對解答發表意見
  • 1 0 年前

    謝謝你...我已經了解了^^

    • Commenter avatar登入以對解答發表意見
還有問題?馬上發問,尋求解答。