Cici Lin 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

高微關於”ε-disk”

1.

claim:

D(x,ε)包含於(0,1)

2.

Is (0,1] open in R^2??請說明

已更新項目:

D(x,ε)包含於(0,1)

2 個已更新項目:

不好意思...後面有點看不太懂~

如果第1題寫成証明該如何寫

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第2題詳細題目是:

Let S= {(x,y)€R^2 |0< x <= 1}

Is S open??

2 個解答

評分
  • prime
    Lv 4
    1 0 年前
    最佳解答

    我假定 1 你是要證明 ( 0, 1) 為 open.

    對於每個 x 屬於 ( 0 , 1), 令 r = min { x, 1-x }. ( 用 r 取代 epsilon )

    我們證明 : D( x, r ) 包含於 ( 0, 1)

    對於每個 y 屬於 D( x , r ),

    我們有 - r < x - y < r, 所以 x - r < y < x + r

    因為 r < = 1-x 且 r <= x , 可以得到 r + x < = 1 且 0 < = x - r .

    故 0 < = x - r < y < x + r < 1. 故 y屬於 ( 0, 1)

    所以 D( x , r ) 包含於 ( 0, 1)

    2. 應該問

    I. ( 0, 1 ] 在 R 為開集合嗎? 或是

    II. ( 0, 1] X ( 0, 1] 在 R^2 為開集合嗎?

    I. II. 的答案是no. 因為

    I. 考慮 x = 1, 任意的 open disk D( x, r ) ( r > 0), 我們證明

    D( 1, r) 必不包含於 ( 0, 1 ]. 如此一來 ( 0, 1] 就不是開集合.

    很明顯的, 1 + r / 2 屬於 D ( 1, r ). 又 1 + r / 2 > 1

    所以 1 + r / 2 不屬於 ( 0, 1 ]. [ ( 0, 1] 中每個點都小於等於1 ]

    II. 証明類似 I. , 取點 x=( 1, 1).

    2006-12-19 01:45:19 補充:

    S= {(x,y)€R^2 |0< x <= 1}

    考慮點 x = ( 1, 0) € S, 我們證明任何以 x為中心的 open disk都不會包含在 S裡. 如此一來 S不為開集合.

    對於任意的 open disk D( x, r) [ r > 0 ],

    我們知道 ( 1 r / 2, 0 )屬於D( x, r) [ 因為( 1 r / 2 , 0 ) 與 x的距離為 r /2 ]

    很明顯的 1 r / 2 > 1, 所以 ( 1 r / 2, 0 ) 不屬於 S.

    故 D(x,r) 中有點不在 S 裡. 即得證 S 不為開集.

    2006-12-19 01:46:22 補充:

    S= {(x,y)€R^2 |0< x <= 1}

    考慮點 x = ( 1, 0) € S, 我們證明任何以 x為中心的 open disk都不會包含在 S裡. 如此一來 S不為開集合.

    對於任意的 open disk D( x, r) [ r > 0 ],

    我們知道 ( 1+r / 2, 0 )屬於D( x, r) [ 因為( 1+r / 2 , 0 ) 與 x的距離為 r /2 ]

    很明顯的 1+r / 2 > 1, 所以 ( 1+r / 2, 0 ) 不屬於 S.

    故 D(x,r) 中有點不在 S 裡. 即得證 S 不為開集.

  • 2.

    Is (0,1] open in R^2??請說明

    根據OPEN的定義

    需要所有點為內點

    故考慮X = 1時

    因為以X為心R為半徑劃一圈並非都是內點

    所以(0,1] is not open in R^2

    D(x,&epsilon;)包含於(0,1)

    如果&epsilon;夠小,則x到&epsilon;的距離會很小,故x在(0,1)的話&rarr;D(x,&epsilon;)包含於(0,1

    參考資料: 自己~念了快一學期高微...期中考只有可憐的87分ˊˋ
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