數等差級數

Question

1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+....+(1+2+...+50)=?

一等差數列前30項和是600
第21項到第50項是2400
求該級數前50項得和

設四數成等比數列，首末2項和是9
中間2項和是6，求這數列

設3正數成等比數列，其積為216
且其和<40，若第一數*3
第2數不變，第3數/4
則依序所得3數成等差數列
求這3數

怎ㄇ算阿 要讓國3生看得懂

°╰唯戀〝慶〞✽瑜╯° · Accepted Answer

(1)&Sigma; k^2 = [n(n+1)(2n+1)/6]
     (k=1~n)
(2)&Sigma; k = [n(n+1)/2]
     (k=1~n)

1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+....+(1+2+...+50)
=1*(1+1) /2+2*(2+1) /2+3*(3+1) / 2+4*(4+1) /2+&hellip;.+50*(50+1) /2
=(1^2 + 1 + 2^2 + 2 + 3^2 + 3 + 4^2 + 4 +&hellip;.+ 50^2 + 50) /2
=【(1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 +&hellip;+ 50^2)+(1+2+3+4+&hellip;+50)】/2
=【&Sigma; k^2 = [n(n+1)(2n+1)/6] + &Sigma; (k=1~n)  k = [n(n+1)/2] 】/2
           (k=1~n)                                           
=【50(50+1)(2*50+1) /6 +50(50+1) /2】/2
=（42925+1275）/2
=  22100

2007-01-11 22:41:09 補充：
&hellip;  是 ....
不知為啥跑出亂碼＝ ＝

YH · Answer

等差級數的公式我一律採用好懂的=(上底+下底)*高/2
也就是=(A1+An)*n/2
An=A1+(n-1)*d

一.
有兩個&Sigma;的公式要知道!
(1)&Sigma;(k=1~n)k^2=[n(n+1)(2n+1)/6]
(2)&Sigma;(k=1~n)/k=[n(n+1)/2]
本題的n=50

原式=&Sigma;(k=1~50)[(1+k)*k/2]    "其實把這步驟寫出來是本題關鍵"
=(1/2)[&Sigma;k^2+&Sigma;k]                     "&Sigma;我少寫(k=1~50),然後將(1)(2)代入"
=(1/2)[n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2]  "n=50代入"
=22100

二. 
令首項=a1,公差=d

[(a1+a30)*30]/2=600
[(a21+a50)*30]/2=2400       "題目兩條件"

[(a1+a1+29d)*30]/2=600
[(a1+20d+a1+49d)+30]/2=2400       "化解為a1,d的二元方程式"

2a1+29d=40
2a1+69d=160

a1=-47/2
d=30

前50項和=[(a1+a50)*50]/2=(a1+a1+49d)*50/2=2500

三.
令四數為{a,ar,ar^2,ar^3}

a+ar^3=9
ar+ar^2=6
                                 "兩式相除,上式除下式"
(1+r^3)/(r+r^2)=3/2
                                 "交叉相乘 化簡"
2r^3-3r^2-3r+2=0
r=-1,2,1/2

(1)r=-1
不合
(2)r=2
a=1         數列為{1 2 4 8}
(3)=1/2
a=8         數列為{8 4 2 1}

三.
令三數為{a/r,a,ar}       "此步驟為關鍵"
三數的積=a^3=216
a=6
三數為{6/r 6 6r}

經過"第一數*3,第2數不變,第3數/4"轉換
三數為{18/r 6 6r/4}為等差數列
則 (18/r+6r/4)/2=6
r=6,2
(1)r=6
三數為{1 6 36} 和=43 不合
(2)
r=2
三數為{3 6 12} 和=21<40
即為答案

2007-01-10 17:42:17 補充：
我指出的關鍵步驟:原式如何變到=sigma.....???
就如樓下的詳解.

不過國中生應該還沒學sigma,
所以本題就硬算吧XD
如果我想到不用sigma的方法再跟你說.

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