自認工程數學高手的請進

Question

y"+4y=x ; y(0)=0,y(1)=1

我只會解到齊次解Yh=C1cos2x+C2sin2x

請問這題要怎麼解(求解過程),只知道答案是y=3/4sin2乘以sin2x+1/4x

Answer 1

最佳解答

通解 用待定係數法 令 yp=ax+b

然後yp微分依次 = a

微分兩次 = 0

最後在帶回原ODE 4(ax+b)=x 4ax+4b=x

比較係數 a=1/4 b=0 所以yp=1/4x

所以y=yh+yp=C1cos2x+C2sin2x+1/4x

在把 y(0)=0帶入

y=C1cos2x+0+0 所以 c1=0

y(1)=1 帶入

y=0+c2sin2+1/4 所以c2=3/4

最後c1 c2 帶入 y=3/4sin2x+1/4x

參考資料： 自己算