ODE非線性聯立問題

Question

Let ( x(t), y(t) ) be a solution of the system

x' = -2x - y^2
   y' = -2y - x^2

such that  x^2(0) + y^2(0) less or equal to 1. By using the function
 x^2 + y^2 or otherwise, show that ( x(t), y(t) ) &rarr; ( 0, 0) as t &rarr; &infin;

還有另一類非線性的聯立題目, 問stability的, 也是無從下手..

Consider the system

x' = -y + (1-x^2-y^2)x
   y' =  x + (1-x^2-y^2)y  .

Determine the stability behavior of the equilibrium (0,0).

之前遇到聯立都是線性的, 用線代的方法對角化就能解決..
非線性的題目我翻了整本原文課本都沒找到.. 請多多指教..

最後再問個名詞..  Hamiltonian system/Hamiltonian function 是什麼意思??

L · Accepted Answer

1.
Define V(x,y) = x^2 + y^2 and F(x,y) = (-2x-y^2,-2y-x^2)
                                                                                
We can check directly two things :
                                                                                
V'(x(t),y(t)) = -4(x^2 + y^2) - 2xy(x+y) = <▽V(x,y),F(x,y)>
V'(x,y) < 0 on {0 < x^2 + y^2 < 1}
                                                                                
Hence V(x,y) is a Liapunov function for the original system, and then
Liapunov stability theorem implies the set {x^2 + y^2 < 1} is contained
in the basin of attraction of the equilibrium solution (0,0).

第二題我沒做，不過它在原點附近應該會是 almost linear，也就是它在原點的穩定性會和 x' = -y + x ；y' = x + y 這個線性系統在原點的穩定性的大部分類型一樣。
Hamiltonian system 是指有 x' = H_y ；y' = -H_x 這種類型的系統 (對於某一個 H(x,y))，微分方程或是動態系統的的原文書應該都有介紹我上面說的一些東西，你查查後面的 Index吧，有些我忘了，而且我現在在網咖手邊沒書。orz

2007-02-04 09:43:26 補充：
V = x^2   y^2 不正是表示解在 phase space 中和原點的距離嗎。
而 V'(x,y) < 0 on {0 < x^2   y^2 < 1} 就是說從單位圓內不從圓心開始跑的解，它離原點的距離會越來越近，但是當時間越來越久後會收斂到原點嗎 ? Liapunov stability theorem 就是保證了這件事。

2007-02-04 09:45:53 補充：
alomest linear 只是用來判別一些非線性系統的 equilibrium solution 到底是穩定或不穩定的哪些類型，若是穩定，那這個點會把附近多大區域的點吸進來則無法知道，這需要更多的分析，所以和第一題不同。

ODE非線性聯立問題

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