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發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

離散數學:mod n與ring

一假設m不是p^a就是2(p^a),p為大於2的質數。

則可得(甲)式:x^2= 1 mod m==>不是x= 1 mod m就是x= -1 mod m

證明(甲式)為恆為錯,若m不為上述形式且m不等於4

二<R,+,*>為一ring,若S、T為R的subring,

證明S跟T的交集仍是R的subring

4 個解答

評分
  • 1 0 年前
    最佳解答

    第一題

    JJ已經回答得很詳細了

    第二題

    為一ring,若S、T為R的subring,

    證明S跟T的交集仍是R的subring

    ring有兩個運算

    可稱為加和乘

    a b c如果是ring中的元素

    必須滿足下列性質

    1加法結合性

    也就是(a加b)加c = a加(b加c)

    2加法交換性

    也就是a加b = b加a

    3加法單位元存在

    也就是有0使得對每一個ring中的元素a都有

    a加0=0加a=a

    4加法反元素存在

    也就是對每一個ring中的元素a都存在-a使得

    a加-a = -a加a = 0

    5左分配律和右分配律

    也就是

    (a加b) 乘 c= (a乘c) 加 (b乘c)

    a乘 (b加c) = (a乘b) 加 (a乘c)

    將S和T的交集稱為H

    a b c如果是H中的元素

    必須滿足下列性質

    1加法結合性

    R本身是ring

    身為R子集的H

    很顯然滿足加法結合性

    2加法交換性

    R本身是ring

    身為R子集的H

    很顯然滿足加法交換性

    3加法單位元存在

    S和T是subring

    所以加法單位元同時存在於S和T

    所以加法單位元存在於S和T的交集H裡面

    4加法反元素存在

    S和T是subring

    所以對每一個H中的a

    其加法反元素-a同時存在於S和T

    所以加法單位元存在於S和T的交集H裡面

    5左分配律和右分配律

    S和T是subring

    滿足分配率

    H是他們的子集

    當然也滿足分配律

    H滿足Ring的條件

    所以H也是個ring

    H被包含於R

    所以H是R的subring

    補充說明

    有些Ring的定義還要加上

    6乘法交換性

    也就是a乘b=b乘a

    這也是很顯然滿足的

    2007-03-02 13:22:42 補充:

    那下次分兩題問如何

    參考資料: ...
    • Commenter avatar登入以對解答發表意見
  • 匿名使用者
    6 年前

    到下面的網址看看吧

    ▶▶http://qoozoo09260.pixnet.net/blog

    • Commenter avatar登入以對解答發表意見
  • 1 0 年前

    一人一題``我也不知怎麼給``如果點數也能一人一半就好了

    2007-03-02 19:34:27 補充:

    OK``下次會注意的``不然對另一位都不好意思

    • Commenter avatar登入以對解答發表意見
  • JJ
    Lv 7
    1 0 年前

    1. 如果 x2 = 1 mod (pa)

    => x2- 1 =(pa)*k

    => (pa) | (x - 1) or (pa) | (x+1) 但是不會同時成立

    (因為 p為大於2的質數)

    所以 如果 m 為 pa 的型態

    則m | (x - 1) orm | (x+1)

    => x = 1 (mod m) or x = -1 (mod m)成立

    如果 m 為 2*pa 的型態

    => x2- 1 =2*(pa)*k

    則2 | (x - 1)and2 | (x+1)

    => (2*pa) | (x - 1)or (2*pa) | (x+1)

    一樣有m | (x - 1)orm | (x+1) 的結果

    => x = 1 (mod m) or x = -1 (mod m)成立 #

    現在證明 m = 4 亦成立

    任何整數 x 必為 4k-1, 4k, 4k+1, 4k+2 中的一種 (k 為整數)

    當 x = 4k 或 4k+2 時, x2= 0 (mod 4)

    當 x = 4k-1 或 4k+1 時, x2=1 (mod 4)

    => 當 m = 4 (甲式)亦成立 #

    證明(甲式)為恆為錯,若m不為上述形式且m不等於4

    (a) m = 2n 的型態 (n > 2)

    取 x = 2n-1 - 1, => 1< x < 2n -1

    x2 = 22n-2 - 2n + 1 = 1 (mod 2n)

    但是 x = 1 (mod m) or x = -1 (mod m)不成立

    (b)m =pa*q 的型態 (p 為 m 最小的質因數, q為任意整數, (p, q) = 1)

    令 x = pa*k+1, and pa*k+2 = q*h

    => 1 < x < m - 1 (因為 q > p => q > 2)

    因為 (p, q) = 1 => (pa, q) = 1

    => q*h - pa*k = 2 有整數解 (h, k)

    => x - 1 =pa*k 為 pa 的倍數

    => x+1 = pa*k+2 = q*h 為q 的倍數

    => (x - 1)(x+1) 為 pa*q (= m)的倍數

    => x2 =1 (mod 2n)

    但是 x = 1 (mod m) or x = -1 (mod m)不成立 #

    2. 抱歉 不會

    如果有問題, 請來函討論. 不然, 我可能會錯失你再補充的疑點.

    2007-02-23 12:09:04 補充:

    抱歉

    中間那行打錯

    => (x - 1)(x+1) 為 pa*q (= m)的倍數

    => x^2 =1 (mod 2n)

    但是 x = 1 (mod m) or x = -1 (mod m)不成立 #

    應該是

    => x^2 = 1 (mod m)

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