Yahoo奇摩知識+ 將於 2021 年 5 月 4 日 (美國東部時間) 終止服務。自 2021 年 4 月 20 日 (美國東部時間) 起,Yahoo奇摩知識+ 網站將會轉為唯讀模式。其他 Yahoo奇摩產品與服務或您的 Yahoo奇摩帳號都不會受影響。如需關於 Yahoo奇摩知識+ 停止服務以及下載您個人資料的資訊,請參閱說明網頁。

夜雨 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

問關於無窮三角函數

(1)假如f(x) = cos(cos(cos(cos(cos(cos(cos(cos(cos......cos(x)........)))))))) 試求逼近值

(2)同(1)求sin (P.S. ----sin(sin(sin(sin(sin.......sin(x)....))))) --- )

(3)同(1)求tan

(4)解釋(1),(2),(3)之值意義

3 個解答

評分
  • L
    Lv 7
    1 0 年前
    最佳解答

    1) 對所有 x in |R, f(x) = p, (其中 p 是 cos(x) = x 的解,此解唯一。)

    2) 對所有 x in |R, f(x) = 0 (其中 0 是 sin(x) = x 的唯一解。)

    3) 對所有滿足 tan(x) = x 的解 p (p 有無限多個。), f(p) = p, 其餘則應該不收斂。

    2007-02-18 01:30:59 補充:

    忘了還有 4) ...

    就是一連續函數的無窮迭代若收斂必收斂到其固定點。

    術語一點來講,p 滿足 cos(p)=p 和 0 分別是 1) 和 2) 的 attracting fixed point,它們的 attracting basin 都是整個 |R。

    3) 我作了一下,不是 tan(x) 的固定點的代入應該都不會收斂,因為若 x 不屬於 {tan(x) = x or tan(x) = ±∞},那 {tan^[n](x) : n = 0,1,2,...} 應該會在 |R 上稠密。只是我還沒證出。ORZ

    2007-02-18 18:46:07 補充:

    關於 3),會不會在 |R 上稠密我不知道,不過肯定不會收斂了。

    把下面這些集合的點扣掉後其餘的點代入去作無窮疊代都不會收斂。

    {x in |R : tan^[n](x) = ±∞ for some n } 聯集

    {x in |R : tan^[n](x) = p for some n and fixed point p of tan(x)}

    2007-02-18 19:03:23 補充:

    To 森山 敦文/陳 冠兆 :

    你的考慮是有道理的,不過我作這個證明的過程中已排除了 sin(x),cos(x), 和 tan(x) 沒有週期 > 1 的週期點 (週期 1 的就是固定點),所以也不會有次週期點,所以也不會有作疊代會在某些地方跳來跳去的情況發生。

    而所謂的 attracting basin,就是裡面所有的點去作無窮疊代都會收斂到固定點,當然也不會跳來跳去。

    這幾題都是離散的動態系統。

    2007-02-20 11:34:05 補充:

    Lemma1 :

                                                                                   

    一連續函數 f 的無窮疊代 f^[n] 若收斂則必收斂至 f 的某個固定點 。

                                                                                   

    pf :

                                                                                   

    設 f^[n](x) -> x_0,連續性 => x_0 = lim(n->oo) f(f^[n-1](x))

                                                                                   

    = f(lim(n->oo) f^[n-1](x)) = f(x_0)。故 x_0 為 f 的固定點。

                                                                                   

    Lemma2 :

                                                                                   

    sin(x) 有唯一固定點為 0,cos(x) 有唯一固定點 p 滿足 cos(p) = p。

    (證明略,不難。)

    2)

                                                                                   

    Given any x in |R => sin(x) in [-1,1] => sin^[2](x) in [-sin1,sin1]

                                                                                   

    => ... => sin^[n 1](x) in [-sin^[n](1),sin^[n](1)] for all n = 1,2,...

                                                                                   

    由歸納法易證 1 > sin(1) > sin^[2](1) > ... > sin^[n](1) > ... > 0

                                                                                   

    故 {sin^[n](1)} 為一遞減有下界數列 => {sin^[n](1)} 收斂

                                                                                   

    但 {sin^[n](1)} 是 sin(1) 的無窮疊代 => {sin^[n](1)} 必收斂到唯一固定點 0

                                                                                   

    -sin^[n](1) < sin^[n 1](x) < sin^[n](1)

                                                                                   

    夾擠定理 => sin^[n 1](x) -> 0

    Q.E.D.

    2007-02-20 11:35:28 補充:

    sin^[n 1](x) 是 sin^[n加1](x)

    2007-02-20 11:45:31 補充:

    1) Given any x in |R => cos(x) in [-1,1]

    => cos^[2](x) in [cos(1),1]

    => cos^[3](x) in [cos(1),cos^[2](1)]

    => cos^[4](x) in [cos^[3](1),cos^[2](1)]

    2007-02-20 11:45:54 補充:

    易證

    1) cos(1) < cos^[3](1) < ... < cos^[2n-1](1) < ... < cos^[2m] for all m

    2) cos^[2](1) > cos^[4](1) > ... > cos^[2n](1) > ... > cos^[2m-1] for all m

    2007-02-20 12:05:13 補充:

    1) {cos^[2n](1)} 為一遞減有下界數列 => {cos^[2n](1)} 收斂

    2) {cos^[2n-1](1)} 為一遞增有上界數列 => {cos^[2n-1](1)} 收斂

    但 cos^[2n] 為 cos^[2] 的無窮疊代,解 cos^[2](x) = x。

    令 f(x) = cos^[2](x) - x,顯然 f(x) 不為 0 on |R - [-1,1]

    f'(x) = sin(cos(x))sin(x) - 1 < 0 on [-1,1]

    故 f 在 [-1,1] 嚴格遞減,故 cos^[2] 仍然只有唯一的固定點,就是 p。

    2007-02-20 12:16:34 補充:

    因此 {cos^[2n](1)} 收斂到 p,設 {cos^[2n-1](1)} 收斂到 q。

    連續性 => p = lim(n->oo) cos^[2n](1) = lim(n->oo) cos(cos^[2n-1](1))

    = cos(lim(n->oo)cos^[2n-1](1)) = cos(q),故 q = p。

    lemma3 : 一數列 {a(n)},若其子數列 {a(2n)} 與 {a(2n-1)} 皆收斂且收斂到相同值,則 {a(n)} 也收斂到此值。(證明略,我太累了 @@)

    2007-02-20 12:16:39 補充:

    由 lemma3 => cos^[n](1) 收斂到 p,接下來由夾擠定理易證 cos^[n](x) 收斂到 p,其中 p 滿足 cos(p) = p 是 cos(x) 的唯一固定點。Q.E.D.

  • 1 0 年前

    如果允許的話= =...我還想給天猊最佳解勒= =..

    我都沒有注意到

    題目可以化簡成那樣[x=cos(x)) ----- > cos(cos(cos(cos(....cos(x)...)) ]

  • ?
    Lv 4
    1 0 年前

    嗯...樓上大師回答的只是一部份喔...

    我聽說過這題目...我記得這是在求函數的不動點...以第(1)題為例...

    從適當的起始值x0開始x1=cos(x0),x2=cos(x1),...可以收斂到cos(x)=x的解...

    不過起始值若 *很好* 可能會收斂到cos(cos(x))=x的解...

    最後將會在兩個值a,b之間跳來跳去...此時a=cos(b),b=cos(a)...

    然後依此類推...cos(cos(cos(x)))=x,cos(cos(cos(cos(x))))=x,...也都將成為收斂值...

    我也不是專門研究這方面的...

    如果有興趣...請找Chaos和Fractal的書看看吧!!

    (這可能是第(4)題想要問的吧!?)

    2007-02-17 23:02:40 補充:

    筆誤...

    然後依此類推...cos(cos(cos(x)))=x,cos(cos(cos(cos(x))))=x,... *的解* 也都將成為收斂值...

    2007-02-18 15:31:08 補充:

    嗯...我並不是要說樓上大師不懂...

    不過...要偷懶可能要像我...只講解概念不計算...

    概念沒說清楚可能會導致誤會...

    2007-02-18 15:31:26 補充:

    當然依樓上大師所述的牛頓法可以求出滿足cos(p)=p的不動點...

    但我想說的是...除了這個不動點之外還有很多無法收斂而造成f(x)未定義的值...

    2007-02-18 15:32:02 補充:

    借用意見欄天猊大大的術語...(依我對這些術語的理解...^^;;)

    對於 Attracting Fix Point p 的 Attracting Basin 裡的值 x...f(x)將收斂為 p...

    2007-02-18 15:32:12 補充:

    不過 Attracting Fix Point (我上述的) a, b 的 Attracting Basin 裡的值 x...f(x)無法收斂而成未定義...

    同樣的...滿足3次振動 v=cos(u), w=cos(v), u=cos(w) 的Attracting Fix Point u,v,w 的 Attracting Basin 裡的值, 滿足4次振動的..., ...都將成未定義...

    2007-02-18 15:32:21 補充:

    這些也並非由一堆附近的值就會收斂的...

    蝴蝶效應將引起很接近的兩值 s, t 將成不同收斂值 f(s), f(t)...

    其實我聽說過的只有cos的例...所以關於sin和tan...我可能無能為力了...

    這些 Attractor, Chaos, Fractal 我也不太懂...希望能拋磚引玉...^^;;

    2007-02-18 15:43:39 補充:

    (蝴蝶效應 => 所以rex大師會說要以計算機找個起始值很不容易)

    2007-02-19 21:44:12 補充:

    To 天猊 大大

    感謝指教!

    說真的...您的解釋快要超過我的理解範圍...到了只能意會不能言傳的地步了...

    畢竟我是資科的...數學只是我的興趣...不敢在各位大大面前班門弄斧...^^;;

    既然 rex 大大也贊成...是否就煩請您轉貼意見到回答上去...以了 夜雨 大大心願?

    2007-02-20 20:55:49 補充:

    多謝天猊大大...應觀眾要求...寫到回答去...而且還非常詳盡...謝謝!

    嗯...也難怪天猊大大會說tan的很難證明...

    畢竟tan...不像cos和sin...疊代的定義域會漸漸縮小...而是從中間破洞...

還有問題?馬上發問,尋求解答。