李宸宇 發問時間: 教育與參考考試 · 1 0 年前

高職工科數學3題幫解

f(x)除以x^2+x+1及x-2的餘式分別為X+1及10,則f(x)除以(x-2)(x^2+x+1)的餘式為何

試求7^7-50‧7^5+6‧7^4+4‧7^3+25‧7^2-30‧7-11值為

已知f(x)=x^3+mx^2+nx+2,若(x-1)^2為f(x)之因式,則2m-3n之值為

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  • 1 0 年前
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    假設f(x)除以(x-2)(x^2+x+1)商式為Q(x),

    又(x-2)(x^2+x+1)為三次式,所以假設餘式為ax^2+bx+c

    則f(x)

    =(x-2)(x^2+x+1)Q(x)+ax^2+bx+c

    =(x-2)(x^2+x+1)Q(x)+a(x^2+x+1)+(b-a)x+(c-a)

    =(x^2+x+1)[(x-2)Q(x)+a]+(b-a)x+(c-a)

    又f(x)除以(x^2+x+1)餘式為x+1

    所以

    b-a=1

    c-a=1

    又f(x)除以(x-2)餘式為10

    所以f(2)=10

    所以f(2)

    =(2-2)(2^2+2+1)Q(2)+a*2^2+b*2+c

    =4a+2b+c

    =10

    由以上可列成方程式:

    4a+2b+c=10﹒﹒﹒(1)

    b-a=1﹒﹒﹒(2)

    c-a=1﹒﹒﹒(3)

    由(2)(3)可得

    b=1+a

    c=1+a

    代入(1)

    4a+2b+c=10

    4a+2(1+a)+(1+a)=10

    7a+3=10

    a=1

    所以b=2,c=2

    所以餘式為x^2+2x+2

    --------------------

    假設

    f(x)

    =x^7-50x^5+6x^4+4x^3+25x^2-30x-11

    =(x-7)(x^6+7x^5-x^4-x^3-3x^2+4x-2)-25

    所以

    f(7)

    =7^7-50*7^5+6*7^4+4*7^3+25*7^2-30*7-11

    =(7-7)(7^6+7*7^5-7^4-7^3-3*7^2+4*7-2)-25

    =-25

    --------------------

    因為(x-1)^2為f(x)之因式

    所以f(x)=Q(x)(x-1)^2=x^3+mx^2+nx+2

    又因為f(x)為三次式,(x-1)^2為二次式

    所以假設Q(x)=ax+b

    (ax+b)(x-1)^2

    =(ax+b)(x^2-2x+1)

    =ax^3-2ax^2+ax+bx^2-2bx+b

    =ax^3+(b-2a)x^2+(a-2b)x+b

    =x^3+mx^2+nx+2

    比較係數得

    a=1

    b=2

    m=b-2a=0

    n=a-2b=-3

    所以

    2m-3n

    =2*0-3*(-3)

    =9

    參考資料: 自己
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