高職工科數學3題幫解

Question

f(x)除以x^2+x+1及x-2的餘式分別為X+1及10，則f(x)除以(x-2)(x^2+x+1)的餘式為何

試求7^7-50‧7^5+6‧7^4+4‧7^3+25‧7^2-30‧7-11值為

已知f(x)=x^3+mx^2+nx+2，若(x-1)^2為f(x)之因式，則2m-3n之值為

Answer 1

最佳解答

假設ｆ（ｘ）除以（ｘ－２）（ｘ^２＋ｘ＋１）商式為Ｑ（ｘ），

又（ｘ－２）（ｘ^２＋ｘ＋１）為三次式，所以假設餘式為ａｘ^２＋ｂｘ＋ｃ

則ｆ（ｘ）

＝（ｘ－２）（ｘ^２＋ｘ＋１）Ｑ（ｘ）＋ａｘ^２＋ｂｘ＋ｃ

＝（ｘ－２）（ｘ^２＋ｘ＋１）Ｑ（ｘ）＋ａ（ｘ^２＋ｘ＋１）＋（ｂ－ａ）ｘ＋（ｃ－ａ）

＝（ｘ^２＋ｘ＋１）［（ｘ－２）Ｑ（ｘ）＋ａ］＋（ｂ－ａ）ｘ＋（ｃ－ａ）

又ｆ（ｘ）除以（ｘ^２＋ｘ＋１）餘式為ｘ＋１

所以

ｂ－ａ＝１

ｃ－ａ＝１

又ｆ（ｘ）除以（ｘ－２）餘式為１０

所以ｆ（２）＝１０

所以ｆ（２）

＝（２－２）（２^２＋２＋１）Ｑ（２）＋ａ＊２^２＋ｂ＊２＋ｃ

＝４ａ＋２ｂ＋ｃ

＝１０

由以上可列成方程式：

４ａ＋２ｂ＋ｃ＝１０﹒﹒﹒（１）

ｂ－ａ＝１﹒﹒﹒（２）

ｃ－ａ＝１﹒﹒﹒（３）

由（２）（３）可得

ｂ＝１＋ａ

ｃ＝１＋ａ

代入（１）

４ａ＋２ｂ＋ｃ＝１０

４ａ＋２（１＋ａ）＋（１＋ａ）＝１０

７ａ＋３＝１０

ａ＝１

所以ｂ＝２，ｃ＝２

所以餘式為ｘ^２＋２ｘ＋２

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假設

ｆ（ｘ）

＝ｘ^７－５０ｘ^５＋６ｘ^４＋４ｘ^３＋２５ｘ^２－３０ｘ－１１

＝（ｘ－７）（ｘ^６＋７ｘ^５－ｘ^４－ｘ^３－３ｘ^２＋４ｘ－２）－２５

所以

ｆ（７）

＝７^７－５０＊７^５＋６＊７^４＋４＊７^３＋２５＊７^２－３０＊７－１１

＝（７－７）（７^６＋７＊７^５－７^４－７^３－３＊７^２＋４＊７－２）－２５

＝－２５

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因為（ｘ－１）^２為ｆ（ｘ）之因式

所以ｆ（ｘ）＝Ｑ（ｘ）（ｘ－１）^２＝ｘ^３＋ｍｘ^２＋ｎｘ＋２

又因為ｆ（ｘ）為三次式，（ｘ－１）^２為二次式

所以假設Ｑ（ｘ）＝ａｘ＋ｂ

（ａｘ＋ｂ）（ｘ－１）^２

＝（ａｘ＋ｂ）（ｘ^２－２ｘ＋１）

＝ａｘ^３－２ａｘ^２＋ａｘ＋ｂｘ^２－２ｂｘ＋ｂ

＝ａｘ^３＋（ｂ－２ａ）ｘ^２＋（ａ－２ｂ）ｘ＋ｂ

＝ｘ^３＋ｍｘ^２＋ｎｘ＋２

比較係數得

ａ＝１

ｂ＝２

ｍ＝ｂ－２ａ＝０

ｎ＝ａ－２ｂ＝－３

所以

２ｍ－３ｎ

＝２＊０－３＊（－３）

＝９

參考資料： 自己