小小青蛙 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

數學在xy平面上有二定點A.B及一直線的小問題

在xy平面上有二定點 A( 負1,3 ) B( 1,負1 )

及一直線 L : X + 2Y = 0 點 P ( x,y )是 直線 L 上的動點

則當 P 的座標 多少時 線段PA + 線段PB 的值最小?

他的提示是:

因為 將A和B分別代入 X + 2Y = 0 後 相乘的值小於0

所以A和B在L的異側

☜這邊就看不懂了

為什ㄇ只要看

A和B分別代入 X + 2Y = 0 後相乘的值

是大於0還小於0 就知道A和B是在L的異側還同側

已更新項目:

小路跟克勞塏都回答的超棒

我設投票囉謝謝你們

3 個解答

評分
  • 1 0 年前
    最佳解答

    問: 在 xy 平面上有二定點 A ( - 1 , 3 ) , B ( 1 , - 1 ) 及一直線 L: x + 2y = 0

    點 P ( x , y ) 是直線 L 上的動點. 則當 P 的座標多少時, 線段 PA + 線段 PB 的值最小?

    他的提示是: 因為將 A 和 B 分別代入 x + 2y = 0 後, 相乘的值小於 0 所以 A 和 B

    在 L 的異側

    解:

    首先解釋你的疑問. 座標圖被直線 L: ax + by = 0 切成兩個區塊. 座標上任一點 A

    ( 不在直線上 ) 代入直線 L 後的值, 不是 > 0, 就是 < 0 ( 因為不在直線上, 故不等於 0 )

    若點 B 與點 A 在直線 L 同一側, B 代入直線 L 後的值跟 A 一樣, 不是 > 0, 就是 < 0.

    ( 因為兩點都在同一側 )

    故, AB 乘積必 > 0 ( + + = + or ─ ─ = + )

    若點 B 與點 A 不在直線 L 同一側, B 代入直線 L 後的值跟 A 相反, 不是 < 0, 就是 > 0.

    ( 因為兩點不在同一側 )

    故, AB 乘積必 < 0 ( + - = - or - + = - )

    OK, 有了以上的概念, 那我們就進行下一步吧!

    把點 A ( - 1 , 3 ) 代入直線 L: x + 2y = 0

    - 1 + 2 * 3 = 5

    把點 B ( 1 , - 1 ) 代入直線 L: x + 2y = 0

    1 + 2 * ( - 1 ) = - 1

    A * B = 5 * ( - 1 ) = - 5 < 0

    點 A 和點 B 在 L 的異側

    現在已經知道 A 點跟 B 點不在同一側, 要來求 PA + PB 了.

    我們知道三角形中, 兩邊之和必大於第三邊

    PA + PB > AB

    若兩邊之和等於第三邊, 則此三角形不為三角形, 而為一直線.

    也就是說, PA + PB 的最小值為直線 AB

    現在已經知道PA + PB 之最小值為直線 AB, 下一步就是求直線 AB 的方程式.

    兩點式: ( y - yA ) = [( yB - yA ) / ( xB - xA )] ( x - xA )

    ( y - 3 ) = [( - 1 - 3 ) / ( 1 + 1 )] ( x + 1 )

    y - 3 = ( - 4 / 2 ) ( x + 1 )

    y - 3 = - 2x - 2

    2x + y - 1 = 0 ……. 直線 AB 方程式

    直線 AB 穿過直線 L: x + 2y = 0, 其交點為動點 P

    2x + y - 1 = 0 ……. ( 1 )

    x + 2y = 0 ……. ( 2 )

    解聯立方程式, 得

    P ( x , y ) = P ( 2 / 3 , - 1 / 3 )

    答: P ( x , y ) = P ( 2 / 3 , - 1 / 3 )

    參考資料: 數學小頭腦
  • 1 0 年前

    圖片參考:http://hk.geocities.com/cloudyma/qid1507041001360....

    如上圖,

    「A和B分別代入x+2y=0後相乘的值小於0」這個事實相當於

    「A點位於直線x+2y=5上,B點位於直線x+2y=-1上,且5*(-1)小於0」。

    x+2y=5、L、x+2y=-1在y軸上的截距分別是正數5/2、0、負數-1/2,

    這表示x+2y=5和x+2y=-1在L的不同側,又,

    x+2y=5上的每一點都在L的同側(因為平行),而A點在x+2y=5上,

    x+2y=-1上的每一點都在L的同側(因為平行),而B點在x+2y=-1上,

    所以A,B在x+2y=0的不同側。

    當P是L與直線AB的交點時,線段PA+線段PB的值最小。

    證明:

    如上圖,設P(x,y)為L與直線AB的交點以外的L上的動點,

    而當P是L與直線AB的交點時,線段PA+線段PB的值=線段AB,

    在三角形APB中,兩邊長之和恆大於第三邊,

    PA+PB大於AB恆成立,故A,P,B三點不能構成三角形時(即三點共線),

    線段PA+線段PB的值最小,此時P在直線AB上,又,P在L上,

    故此時P是L與直線AB的交點。

    直線AB斜率=[3-(-1)]/(-1-1)=4/(-2)=-2

    直線AB方程式為2x+y=1,與x+2y=0解聯立方程式,

    得交點座標P(2/3,-1/3),此時線段PA+線段PB的值最小 。

    參考資料: Graphmatica數學繪圖軟體
  • 1 0 年前

    側平面座標上 這條線把平面分成兩塊 或更精確一點 線上也算一部分

    這三部分分別是X+2Y=0, X+2Y<0, X+2Y>0

    線上已經肯定是X+2Y=0

    那其他兩個呢?

    你可以挑一個很明顯是在線的右側的任一點 比如說(10,10)

    然後代入到X+2Y中 得到的答案是30 且大於0 所以在右側的大於0

    反之在左側的小於0(或是你也可以用(-10,-10)試試看)

    這應該就解決你的問題了吧

    參考資料:
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