# 證明不動點問題

(X,d) is complete metric space ; f : X ---> X is conti & g = f o f

| g(x) - g(y) | < k |x-y| , k in (0,1)

prove f has fixed point

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B={ x | x in R^n , | x | < or = 1 }

f : B ---> B conti ； if | f(x) - f(y) | < | x - y |

show f has fixed point

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K(x,y) conti on [0,1] x [0,1] ; | K(x,y) | < 1

g(x) in C [0,1]

show there is unique f in C[0,1] s.t f(x) = g(x) + S[0,1] K(x,y) f(y)dy

S[O,1] 表積分 >.<

### 2 個解答

• 1 0 年前
最佳解答

It's trivial that g has a unique fixed point, say x.

Thus

g(x)=x

f(f(x))=x

f(f(f(x)))= f(x)

g(f(x))=f(x)

Therefore f(x) is a fixed point of g, so by the uniqueness, we have

f(x)=x

This shows that x is a fixed point of f.

2007-05-16 00:37:36 補充：

g 的定點得存在性用到了 Lipschitz 條件。這是一個大定理。叫作 Contractive mapping theorem.

2007-05-16 09:04:25 補充：

呵呵，沒聽過 "Contractive mapping theorem" 嗎？ Google 找一下就很多了啊：

2007-05-16 15:22:45 補充：

下一題：

For 0<r<1, r f is contractive because

| r f(x) - r f(y) | = r | f(x) - f(y)| < r | x-y|.

By the Contractive Mapping theorem, there exits x_r in B such that

f(x_r) = x_r

2007-05-16 15:23:16 補充：

Let {r_k} be a sequence of posive real numbers strictly increasing to 1.

Since B is compact, the sequence {x_(r_k)} has a convergent subsquence , still called {x_(r_k)}, to the limit, say y.

Then

f(y) = f (lim x_(r_k)) = lim f(x_(r_k))=lim x_(r_k)/r_k = y

Thus y is a fixed point of f.

2007-05-16 15:30:15 補充：

Let L be the mapping on C[0,1], defined by

T f (y) = g(x) + S[0,1] K(x,y) f(y)dy

Then T is a compact mapping. (也是大定理)

And

|T f - T h | < | f-h|

Simliar to the last problem,

one can show that T has a fixed point.

2007-05-16 15:46:53 補充：

Oooops，上一題看錯了，沒注意到那個 g。

你自己去看書吧，關於 Fredholm conditions 的.

才給十點，還問那麼多。

2007-05-16 18:55:08 補充：

To Copestone 大大：

你出的題目那麼難，點數又那麼少。我做微積分，隨便做一下，就可以賺個十幾二十分。差很多耶。對不對。

• 1 0 年前

這只是標準的證明作點變化：

從 X 任意取一點 x_0

對任意自然數 n, 定義：

x_{n+1} = g(x_n)

顯而易見〔如果不認為，請自行證明〕, {x_n} 是 Cauchy sequence in X.

By completeness, its limit x is in X.

且易證 x 必為一定點〔且是唯一的定點〕。

2007-05-15 08:53:51 補充：

證完這題後，不如作點更微妙的變化好了，難上一點點，但也可以考考大家的觀察。

令 (X, d) 為 complete metric space，且 f: X --> X 滿足

d(f(x), f(y)) < 或 = c[d(x, f(y)) + d(y, f(x))], 其中 c 為小於 1/2 的正實數。

試證明 f 有唯一的定點。

2007-05-16 03:47:21 補充：

是 Contraction Mapping Theorem，不是 Contractive？似乎從未聽過見過呢？

意見 1 的簡畸證明中就需要利為到 Lipschitz condition，才可以證明 {x_n} 為Cauchy sequence。

－－－

你的另一題，並不需要 if | f(x) - f(y) | < | x - y |

B 明顯為 non-empty compact convex subset of R^n, 這只是 Brouwer's fixed point theorem 的特例。

你要證明 Brouwer's fixed theorem?

2007-05-16 08:59:56 補充：

Brouwer's fixed Theorem 有很多證明方式，不過都會有點長〔或要一點背景，雖然不多〕，最常見竟是用代數拓璞，考慮 R^n 裡單位球到球面的一個 retraction，一個簡單的 holomogy 群 argument 就行。〔隨便一本代數拓璞，如 Munkres 的 Elements of Algebraic Topology；或一些 Topology 的書較後面都可能會談〕

2007-05-16 09:15:31 補充：

那你去看看那些網頁，找出來的是什麼？

不過也有人叫種 map 為 contractive，所以也許有人叫它做 contractive mapping theorem，這也無傷大確，管它的。

2007-05-16 09:41:22 補充：

用 Brouwer-Schauder fixed point theorem，

A 為 Banach 空間 X 的非空 compact convex subset, T: A-->A 連續，則 T 在 A 內有定點。

取 X = C[0, 1] (with || f || = sup{| f (x) |: x in [0, 1]}

Let B = unit ball of C[0, 1]

Define T:B -->B by

T(f) = g + 積分{0 到 1} K(x, y)f(y)dy

易證明 T 為連續。

2007-05-16 09:42:46 補充：

By Schauder 定點定理：

在 B 內有一定點 f, 即為所求。

f 在 X 內當然也是定點，唯一性非常明顯，請自行證明。

2007-05-16 09:46:13 補充：

對了，你中間那題， | f(x) - f(y) | < | x - y | 這條件可推出 f 為連續。

我懷疑問題是先叫你證明 f 為連續，再利用 Brouwer 定點定理。不然題目這樣些有點多餘。

2007-05-16 17:11:41 補充：

To sch:

這些標準證明沒什麼意思，再來一條逆定理如何，敬請期待？

呵，點數那麼重要麼？那你只好找人贊助了。我主要判斷題目的難度，是要看用多少個 main arguments。像這一題，給 5 點也合理，畢竟證明很直觀，幾乎是標準技巧，不給點也無妨吧，樂趣自娛而已。

2007-05-17 04:11:56 補充：

這沒法啊，職業取向不同。

這年頭我都靠評價賺取點數，一點一點累積。窮人出的問題，當然也付不出什麼了。

至於回答問題這條財路，實在是提不起興趣，我又不是在辦數學教育。引不起我興趣的問題，看都不想看。而這兒，實在是水不夠深啊．．．〔連水有沒有也是問題，口水倒是一大堆的！〕