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匿名使用者 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

證明不動點問題

(X,d) is complete metric space ; f : X ---> X is conti & g = f o f

| g(x) - g(y) | < k |x-y| , k in (0,1)

prove f has fixed point

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抱歉~~中間沒隔開~~ g是 f 合到 f ~~後面是 Lipsthitz 條件

有沒有等於應該影響不大吧>.<

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可以問一下~哪裡用到Lipsthitz 條件嗎?

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還有一題~不好意思

B={ x | x in R^n , | x | < or = 1 }

f : B ---> B conti ; if | f(x) - f(y) | < | x - y |

show f has fixed point

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太麻煩的話~~說一下有沒有哪本書有Brouwer's fixed theorem

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再一題~~>.<

K(x,y) conti on [0,1] x [0,1] ; | K(x,y) | < 1

g(x) in C [0,1]

show there is unique f in C[0,1] s.t f(x) = g(x) + S[0,1] K(x,y) f(y)dy

S[O,1] 表積分 >.<

2 個解答

評分
  • 1 0 年前
    最佳解答

    It's trivial that g has a unique fixed point, say x.

    Thus

    g(x)=x

    f(f(x))=x

    f(f(f(x)))= f(x)

    g(f(x))=f(x)

    Therefore f(x) is a fixed point of g, so by the uniqueness, we have

    f(x)=x

    This shows that x is a fixed point of f.

    2007-05-16 00:37:36 補充:

    g 的定點得存在性用到了 Lipschitz 條件。這是一個大定理。叫作 Contractive mapping theorem.

    2007-05-16 09:04:25 補充:

    呵呵,沒聽過 "Contractive mapping theorem" 嗎? Google 找一下就很多了啊:

    http://www.google.com.tw/search?hl=zh-TW&q=%22cont...

    2007-05-16 15:22:45 補充:

    下一題:

    For 0<r<1, r f is contractive because

    | r f(x) - r f(y) | = r | f(x) - f(y)| < r | x-y|.

    By the Contractive Mapping theorem, there exits x_r in B such that

    f(x_r) = x_r

    2007-05-16 15:23:16 補充:

    Let {r_k} be a sequence of posive real numbers strictly increasing to 1.

    Since B is compact, the sequence {x_(r_k)} has a convergent subsquence , still called {x_(r_k)}, to the limit, say y.

    Then

    f(y) = f (lim x_(r_k)) = lim f(x_(r_k))=lim x_(r_k)/r_k = y

    Thus y is a fixed point of f.

    2007-05-16 15:30:15 補充:

    Let L be the mapping on C[0,1], defined by

    T f (y) = g(x) + S[0,1] K(x,y) f(y)dy

    Then T is a compact mapping. (也是大定理)

    And

    |T f - T h | < | f-h|

    Simliar to the last problem,

    one can show that T has a fixed point.

    2007-05-16 15:46:53 補充:

    Oooops,上一題看錯了,沒注意到那個 g。

    你自己去看書吧,關於 Fredholm conditions 的.

    才給十點,還問那麼多。

    2007-05-16 18:55:08 補充:

    To Copestone 大大:

    你出的題目那麼難,點數又那麼少。我做微積分,隨便做一下,就可以賺個十幾二十分。差很多耶。對不對。

  • 1 0 年前

    這只是標準的證明作點變化:

    從 X 任意取一點 x_0

    對任意自然數 n, 定義:

    x_{n+1} = g(x_n)

    顯而易見〔如果不認為,請自行證明〕, {x_n} 是 Cauchy sequence in X.

    By completeness, its limit x is in X.

    且易證 x 必為一定點〔且是唯一的定點〕。

    2007-05-15 08:53:51 補充:

    證完這題後,不如作點更微妙的變化好了,難上一點點,但也可以考考大家的觀察。

    令 (X, d) 為 complete metric space,且 f: X --> X 滿足

    d(f(x), f(y)) < 或 = c[d(x, f(y)) + d(y, f(x))], 其中 c 為小於 1/2 的正實數。

    試證明 f 有唯一的定點。

    2007-05-16 03:47:21 補充:

    是 Contraction Mapping Theorem,不是 Contractive?似乎從未聽過見過呢?

    意見 1 的簡畸證明中就需要利為到 Lipschitz condition,才可以證明 {x_n} 為Cauchy sequence。

    ---

    你的另一題,並不需要 if | f(x) - f(y) | < | x - y |

    B 明顯為 non-empty compact convex subset of R^n, 這只是 Brouwer's fixed point theorem 的特例。

    你要證明 Brouwer's fixed theorem?

    2007-05-16 08:59:56 補充:

    Brouwer's fixed Theorem 有很多證明方式,不過都會有點長〔或要一點背景,雖然不多〕,最常見竟是用代數拓璞,考慮 R^n 裡單位球到球面的一個 retraction,一個簡單的 holomogy 群 argument 就行。〔隨便一本代數拓璞,如 Munkres 的 Elements of Algebraic Topology;或一些 Topology 的書較後面都可能會談〕

    2007-05-16 09:15:31 補充:

    那你去看看那些網頁,找出來的是什麼?

    不過也有人叫種 map 為 contractive,所以也許有人叫它做 contractive mapping theorem,這也無傷大確,管它的。

    2007-05-16 09:41:22 補充:

    用 Brouwer-Schauder fixed point theorem,

    A 為 Banach 空間 X 的非空 compact convex subset, T: A-->A 連續,則 T 在 A 內有定點。

    取 X = C[0, 1] (with || f || = sup{| f (x) |: x in [0, 1]}

    Let B = unit ball of C[0, 1]

    Define T:B -->B by

    T(f) = g + 積分{0 到 1} K(x, y)f(y)dy

    易證明 T 為連續。

    2007-05-16 09:42:46 補充:

    By Schauder 定點定理:

    在 B 內有一定點 f, 即為所求。

    f 在 X 內當然也是定點,唯一性非常明顯,請自行證明。

    2007-05-16 09:46:13 補充:

    對了,你中間那題, | f(x) - f(y) | < | x - y | 這條件可推出 f 為連續。

    我懷疑問題是先叫你證明 f 為連續,再利用 Brouwer 定點定理。不然題目這樣些有點多餘。

    2007-05-16 17:11:41 補充:

    To sch:

    這些標準證明沒什麼意思,再來一條逆定理如何,敬請期待?

    呵,點數那麼重要麼?那你只好找人贊助了。我主要判斷題目的難度,是要看用多少個 main arguments。像這一題,給 5 點也合理,畢竟證明很直觀,幾乎是標準技巧,不給點也無妨吧,樂趣自娛而已。

    2007-05-17 04:11:56 補充:

    這沒法啊,職業取向不同。

    這年頭我都靠評價賺取點數,一點一點累積。窮人出的問題,當然也付不出什麼了。

    至於回答問題這條財路,實在是提不起興趣,我又不是在辦數學教育。引不起我興趣的問題,看都不想看。而這兒,實在是水不夠深啊...〔連水有沒有也是問題,口水倒是一大堆的!〕

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