有關反函數微分的問題~

Question

1.設函數f'(x)=x^2且g(x)=f((2x-1)/(x+1)),則 g'(0)之值為何?

2.設f'(x)=1/(1-f^2(x))^0.5且g為f之反函數，則 g'(y)等於下列哪一個式子

(1)(1-y^2)^0.5

(2)1/(1-y^2)^0.5

(3)1/(1-y^2)

(4)(1-y^2)

(5)(1+y^2)

麻煩以上請祥細一點~謝謝

Answer 1

最佳解答

1.

g(x)=f((2x-1)/(x+1))

g'(x)=f'((2x-1)/(x+1))

g'(0)=f'(0)=0^2=0

2.

f'(x)=df/dx=1/(1-f^2(x))^0.5

由啞變原原理

df/dg=1/(1-f^2(g))^0.5=1/(1-x^2)^0.5

g'(x)=dg(x)/dx=1/(df/dg)=(1-x^2)^0.5

由啞變原原理

g'(y)=(1-y^2)^0.5

所以答案為(A)

2007-05-17 23:35:20 補充：

感謝T大糾正

第一題應該是

設函數f'(x)=x^2且g(x)=f((2x-1)/(x+1)),則 g'(0)之值為何?

f'(x)=x^2 => f(x)=(1/3)x^3+c

g(x)=f((2x-1)/(x+1))=g(x)=(1/3)*[(2x-1)/(x+1)]^3

g'(x)=[(2x-1)/(x+1)]^2*[2(x+1)-(2x-1)]/(x+1)^2

g'(0)=1*(2+1)/1=3

Answer 2

不好意思我第一題算的是4

g(f(x))=x----兩邊微分

g'(f(x))=1/f'(x)

由於(2x-1)/(x+1)在0.5為0

所以=1/f'(0.5)=4

請問這樣對嗎?

2007-05-23 15:54:53 補充：

之前因為無法在意件和補充欄打字~所以才這麼久沒回~奇摩知識+最近是不是有問題

Answer 3

第一題漏了連鎖律 答案是 3

2007-05-25 16:26:25 補充：

你的問題在於『錯將兩函數在某2點的函數值相等 移植到兩函數的導數值相等』

Flanker force的解法是對的。

若能善用合成函數的微分定理，則可再精簡

1. ｆ' (ｘ) ＝ｘ² ，ｇ(ｘ) ＝ｆ［( 2ｘ－1 )／(ｘ＋1)］

利用連鎖律：ｇ' (ｘ) ＝ ｆ'［( 2ｘ－1 )／(ｘ＋1)］．［( 2ｘ－1 )／(ｘ＋1)］'

＝ ［( 2ｘ－1 )／(ｘ＋1)］² ．［3／(ｘ＋1) ²］

所以 ｇ' ( 0 ) ＝ ( - 1 ) ² ．3 ＝ 3