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有關反函數微分的問題~

1.設函數f'(x)=x^2且g(x)=f((2x-1)/(x+1)),則 g'(0)之值為何?

2.設f'(x)=1/(1-f^2(x))^0.5且g為f之反函數,則 g'(y)等於下列哪一個式子

(1)(1-y^2)^0.5

(2)1/(1-y^2)^0.5

(3)1/(1-y^2)

(4)(1-y^2)

(5)(1+y^2)

麻煩以上請祥細一點~謝謝

3 個解答

評分
  • 1 0 年前
    最佳解答

    1.

    g(x)=f((2x-1)/(x+1))

    g'(x)=f'((2x-1)/(x+1))

    g'(0)=f'(0)=0^2=0

    2.

    f'(x)=df/dx=1/(1-f^2(x))^0.5

    由啞變原原理

    df/dg=1/(1-f^2(g))^0.5=1/(1-x^2)^0.5

    g'(x)=dg(x)/dx=1/(df/dg)=(1-x^2)^0.5

    由啞變原原理

    g'(y)=(1-y^2)^0.5

    所以答案為(A)

    2007-05-17 23:35:20 補充:

    感謝T大糾正

    第一題應該是

    設函數f'(x)=x^2且g(x)=f((2x-1)/(x+1)),則 g'(0)之值為何?

    f'(x)=x^2 => f(x)=(1/3)x^3+c

    g(x)=f((2x-1)/(x+1))=g(x)=(1/3)*[(2x-1)/(x+1)]^3

    g'(x)=[(2x-1)/(x+1)]^2*[2(x+1)-(2x-1)]/(x+1)^2

    g'(0)=1*(2+1)/1=3

  • 不好意思我第一題算的是4

    g(f(x))=x----兩邊微分

    g'(f(x))=1/f'(x)

    由於(2x-1)/(x+1)在0.5為0

    所以=1/f'(0.5)=4

    請問這樣對嗎?

    2007-05-23 15:54:53 補充:

    之前因為無法在意件和補充欄打字~所以才這麼久沒回~奇摩知識+最近是不是有問題

  • tom
    Lv 6
    1 0 年前

    第一題漏了連鎖律 答案是 3

    2007-05-25 16:26:25 補充:

    你的問題在於『錯將兩函數在某2點的函數值相等 移植到兩函數的導數值相等』

    Flanker force的解法是對的。

    若能善用合成函數的微分定理,則可再精簡

    1. f' (x) =x² ,g(x) =f[( 2x-1 )/(x+1)]

    利用連鎖律:g' (x) = f'[( 2x-1 )/(x+1)].[( 2x-1 )/(x+1)]'

    = [( 2x-1 )/(x+1)]² .[3/(x+1) ²]

    所以 g' ( 0 ) = ( - 1 ) ² .3 = 3

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