L
Lv 7
L 發問時間： 科學數學 · 1 0 年前

# 一題PDE證明 2 (Conservation Law)

Show that u(x,t) =

/ (-2/3) * (t + (3x + t^2)^(1/2)) if 4x + t^2 > 0

|

\ 0 if 4x + t^2 < 0

is an integral solution of u_t + ((u^2)/2)_x = 0

∫_[0,oo]∫_[-oo,oo] u(v_t) + F(u)(v_x) dxdt

+ (∫_[-oo,oo] gv dx |_t=0)

= 0

for all test function v ...... (這邊的 F(u) = (u^2)/2)

2 個已更新項目:

### 11 個解答

• 1 0 年前
最佳解答

這題要用分佈積分。

Let

Ω={(x,t) | 4 x +t^2 > 0, t>0}

Γ_1={(x,t) | 4 x + t^2 = 0, t>0}

Γ_2={(x,t) | x > 0 , t = 0}

Γ=Γ_1 U Γ_2 = (Γ_1 union Γ_2)

u = (-2/3) * (t + (3x +t^2)^(1/2)) on Ω, and 0 otherwise.

It's easy to see that u_t + (u^2/2)_x = 0 inside Ω.

(1) support of v is inside Ω：

∫_[0,oo]∫_[-oo,oo] u(v_t) +F(u)(v_x) dxdt + (∫_[-oo,oo] gv dx |_t=0)

=∫∫{on Omega} u(v_t) + F(u)(v_x) dxdt

= ∫∫{on Omega} (u_t + F(u)_x)(v) dxdt

= ∫∫{on Omega} (0)*(v) dxdt

= 0

(2) support of v is outside Ω： trivial, since u=0 there.

(3) support of v intersects Γ

∫_[0,oo]∫_[-oo,oo] u(v_t) + F(u)(v_x) dxdt + (∫_[-oo,oo] gv dx |_t=0)

=∫∫{on Omega} u(v_t) F(u)(v_x) dxdt+ (∫_[-oo,oo] gv dx |_t=0)

= ∫∫{on Omega} (u_t F(u)_x)(v) dxdt +∫{on Gamma_1}(- 2t) * u (-4) * F(u) ds (Note: the normal vector of Gamma_1 is (-4, -2t)

=∫{on Gamma_1}(- 2t) * u +(-4) * F(u) ds

=∫{on Gamma_1} (-8*(t Sqrt[t^2 3*x]))/3 (4*t*(t Sqrt[t^2 3*x])^2)/9 ds

= ∫{on Gamma_1} 0 ds (note: on Gamma_1, x=- t^2)

2007-05-21 04:32:59 補充：

更正一下；倒數一到四行，都要乘 v

2007-05-21 14:58:32 補充：

{(x, 0) | x>0} 的部份，分部積分的時候就消去了，你看我積到最後就只剩在shock (我說的 Gamma_1)上的積分了。這個 shock 是 C^1，有 normal vector 沒問題。

2007-05-21 15:09:43 補充：

我把 (3) 寫清楚一點，你看起始值 g 怎麼消掉。

=∫∫{on Ω} u(v_t) F(u)(v_x) dxdt+ (∫_[-oo,oo] gv dx |_t=0)

=∫∫{on Ω} (u_t F(u)_x)(v) dxdt +∫{on Γ_1 U Γ_2} (u*n_t+F(u)*n_x)ds +∫_[-oo,oo] gv dx

=∫∫{on Ω} (u_t F(u)_x)(v) dxdt +∫{on Γ_1} (u*n_t+F(u)*n_x)

ds +∫{on Γ_2} (u*n_t+F(u)*n_x)+∫_[-oo,oo] gv dx

這裡 n_t, n_x 是法向量的兩個分量。

2007-05-21 15:12:41 補充：

在 Γ_2 上，t=0, x>0, n_t = -1, n_x=0，又 g=0 when x <0, 所以

∫{on Γ_2} (u*n_t+F(u)*n_x) ds +∫_[-oo,oo] gv dx = 0

這樣就消掉了.

2007-05-21 18:25:34 補充：

其實這個問題主要是檢查 jump condition。

Burger's 的 jump condition 是

s = 0.5 * (u_L + u_R)

where

s = shock speed,

u_L=the value of u at the left hand side of the shock

u_R=the value of u at the right hand side of the shock

2007-05-21 18:30:37 補充：

你這個問題

u_L=0

u_R=(-2/3)(t+(3x+t)^(1/2))=-2 (-x)^(1/2)

s=dx/dt = - (-x)^(1/2)

s = 0.5*(u_L + u_R)

2007-05-22 01:25:18 補充：

Copestone 大大

If u is piecewise smooth, and

(1) u satisfies the conservation law on the smooth region

(2) u satisfies the jump conditon along the shock(s)

then u is a weak solution

• 6 年前

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• 匿名使用者
6 年前

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7 年前

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• L
Lv 7
1 0 年前

我知道這題是用部分積分，不過部分積分應該是 :

1) U : open and bdd. subset of |R^n

2) bd(U) is a C^1 curve.

3) u,v in C^1(U) union C(bd(U))

then ∫_U u(v_i) + ∫_U (u_i)v = ∫_bd(U) uvn^i

v_i : v 對其第 i 個變數微分

n^i : U 邊界上的朝外法向量的第 i 個分量

2007-05-21 09:08:09 補充：

這題的邊界是

{(x,t) : 4x + t^2 = 0 and t >= 0} union {(x,0) : x >=0}

並非 C^1

那部分積分還可以用嗎 @@?

我就是卡在這邊，手邊查不到有哪些計算的事實可用。

2007-05-24 01:40:42 補充：

這題本來的題目是證明 u(x,t) 是 u_t + ((u^2)/2)_x 的一個無界的 entropy solution. 我主要是卡在部分積分的使用條件上所以不太敢冒然計算. 不過照這樣看來似乎只要邊界是 "片段平滑" 那部分積分就可以用了, 只是要分段.

不過 u 在 Γ 上沒定義, 算的時後應該要取從右半部到 Γ 的極限才是. @@

• 1 0 年前

小批一下：

weak solution 本來就是用部份積分來定義的。在動態方程中常會遇到一些偏微分方程〔如 Burger 方程，就是此題目中的方程〕，即使給定的方程中沒有不連續的函數，想要有 GLOBALLY defined 的 smooth 函數解卻是不存在的。

2007-05-21 23:22:17 補充：

sch：

用 divergence theorem 很易看出 along a curve of discontinuity jump, jump conditon 是有 weak solution 的必要條件。

但什麼時候也是充分條件呢？在 Burgers 方程中好像是呢．．．有沒有完整一點的答案？

2007-05-22 00:50:52 補充：

令 C = {4x + t^2 = 0, t > 或 = 0} 這條 smooth curve。

考慮 C 上一點 P〔怕 t = 0 點有問題，先令 t > 0 好了〕，取一個 open ball U containing P, U 充夠小，則 U 的邊界與 C 相交於兩點，且 C 把 U 分成兩塊 open set U_1, U_2 with C as common boundary。

再取一個 test function v, vanish on boundary of U_1 及 U_2 except on C.

2007-05-22 01:05:22 補充：

令 f = u^2/2, 分別對 uv_t + fv_x 在 U_1 及 U_2 取重積分，得兩式子。

用 Divergence Theorem，由於 v 在 U 之邊界為 0, 再由 weak solution 的公式，合併兩式即得：

0 = line integral along C of v{[U_R - U_L]dx + [f(U_L) - f(U_R)]dt}

由於 v 是 arbitary, 代入 f, 得 s = (U_L + U_R)/2 這個 jump condition

where s = dx/dt

反推即知命題中 u 為解。

2007-05-22 05:10:54 補充：

天猊應該沒有問題了吧？

在 smooth region 部份，只要簡單檢查微分方程就可。

唯一需要擔心的正是 along C 的兩邊, u 有 discontinuity jump。

所以，你只要 check C 上的任意點的 open neighborhood, u 是 weak solution 即可。由上面所推導發現，這等價於滿足 jump condition。在此題中，顯然成立。

2007-05-24 02:11:45 補充：

在 C 上 「locally」 考慮,取 C 上的任意點 P 為圓心的 open ball, C 就會把此 open ball 分成兩塊了,而 u 在 C 兩邊是不一樣的 C^1 函數 u_L 及 u_R [左右兩邊都是要看的]

這 discontinuity jump 最主要做成的問題是,兩塊 regions 有共同的邊界,就給出了一個 jump condition。所以,正如 sch 說的,你就 check 一下 jump condition 就好了。

line integral 可以分段積,這應該不會構成理論上的問題。

• 1 0 年前

嗯.....PDE....,這裡應該很少人會