close 發問時間: 教育與參考考試 · 1 0 年前

我有一些不會積分的題目希望能解答

第一題

∫ dx/(x平方+x+1)

0

第二題

2

∫ [√(1+x平方)]dx

0

抱歉不太會打符號

1 個解答

評分
  • tom
    Lv 6
    1 0 年前
    最佳解答

    這兩題的不定積分都可利用三角代換法解出;第一題可直接代標準公式:

    ∫dx/(a2+x2 ) = (1/a)tan-1 (x/a) +c

    1. ∫dx/(x2+x+1) =∫d(x+1/2)/[(√3/ 2) 2+(x+1/2) 2]……(a=√3/ 2)

    = (1/√3/ 2) tan-1 ((x+1/2)/(√3/ 2)) +c

    = (2√3/3) tan-1 ((2x+1)/√3) +c

    所以瑕積分∫0∞ dx/(x2+x+1) = lims→∞[(2√3/3) tan-1 ((2x+1)/√3)]0s

    = lims→∞[(2√3/3) tan-1 ((2 s+1)/√3)]-[(2√3/3) tan-1 (2.0+1)/√3)]

    = (2√3/3) [π/2 - π/6] = 2√3π/ 9

    2. 設x=tanθ,則dx=sec2θdθ,且secθ=√(1+x2 )

    ∫√(1+x2 ) dx

    =∫secθd tanθ……(分部積分)

    = tanθsecθ-∫tanθd secθ

    = tanθsecθ-∫tanθ.tanθsecθdθ

    = tanθsecθ-∫(sec2θ-1) secθdθ

    = tanθsecθ-∫sec3θdθ+∫secθdθ……(將∫sec3θdθ=∫secθd tanθ移項)

    所以∫√(1+x2 ) dx= (1/2)[tanθsecθ+∫secθdθ]

    = (1/2)[tanθsecθ+ ln|tanθ+secθ|]+c

    = (1/2)[x√(1+x2 )+ ln|x+ √(1+x2 )|]+c

    故定積分∫02 √(1+x2 ) dx

    = (1/2)[x√(1+x2 )+ ln|x+ √(1+x2 )|]02

    = (1/2)[2√5+ ln(2+√5) - 0]

    = √5+(1/2) ln(2+√5)

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