立承 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

極限定義的證明

Prove lim x→3 (X^2+X+5)=7

解答是寫:

令ε為任意正數

必有一對應δ>0

使 |(x^2+x-5)-7|<ε

whenever 0 <|x-3 |<δ

所以 | x ^2+x-12 |< |x+4 |δ

取δ=1

ε=8ε

δ=min{1,ε/8}

我想請問爲什麼要取δ=1...

有什麼意義嗎??

我們老師是說比較方便...

但我還是聽不太懂

而且爲什麼最後答案要寫δ=min{1,ε/8}

不太懂他的意思...

而且最後寫出δ=min{1,ε/8}爲什麼就代表証出來了??

4 個解答

評分
  • 徐總
    Lv 6
    1 0 年前
    最佳解答

    因 |(x^2+x-5)-7| = |x^2+x-12| = |x+4||x-3|

    先取 δ*=1 , 當 0<|x-3|<δ*= 1 時, |x+4| = |(x-3)+7| < |x-3|+7 < 8

    即 |(x^2+x-5)-7| = |x+4||x-3| < 8|x-3|

    最後要証明 0 <|x-3 |<δ ==> | x ^2+x-12 | < ε (即 8|x-3| < ε ==> |x-3| < ε/8 )

    故取 δ=min{1,ε/8} (即 |x-3| <1 且 |x-3|<ε/8 )

    則可證得, 對任意 ε>0 , 存在 δ=min{1,ε/8} ,使得 0 <|x-3 |<δ ==> | x ^2+x-12 | = |x+4||x-3| < 8|x-3| < 8(ε/8) = ε

    參考資料: me
  • 1 0 年前

    一樓的是跟我補一樣的嗎??陳建宏的~~

    總覺得他證明沒講清楚就跳過了...

    然後就下一題了~~

  • 1 0 年前

    先取 δ = 1 是把要考慮 x 的範圍縮小,你可以這樣做,因為你只關心 x = 3 附近。

    為了方便麼?這說得不夠完整,事實上除了方便,還因為二次元的式子不好估,取兩步驟來估。第一步先把範圍固定,限制 x 的變動可能。

    ==

    取 δ = min{1, ε/8} 時,就代表 0 < | x - 3| < 1 及 0 < | x - 3| < ε/8 兩式同時成立,這兩式能推出的結論就可以一起用。

    2007-07-07 00:12:05 補充:

    中間的確應該是小於等於,但不影響結論。

  • Lv 5
    1 0 年前

    阿 你是今天補完微積分聽不懂唷?....

    我也是耶

    為什麼要取 min 呀.... 這個最小 有什麼涵義呢 = = ?

    我也只記得他說什麼比較方便的

    然後就突然冒出個求最小的 就沒了 怪怪....

    2007-07-07 00:07:29 補充:

    感恩!

    還有關於這點不知道是我抄錯了還是有哪裡沒弄清楚

    ( | x+4 | = | (x-3) + 7 | < | (x-3) | +7 < 8)

    為什麼中間的那個是 小於 而不是 小於等於

    2007-07-07 00:13:07 補充:

    嗯 ..... 可是會引起我對於這個老師的懷疑 = =

    2007-07-07 02:04:53 補充:

    right 他前面該講久一點的不講

    後面簡單的反而講了一堆時間....

    http://csm00.csu.edu.tw/0166/2007Ting/index.htm

    這個網站的 1-1 δε基本說明可以聽一下 有影片教學

    後面也有其他的可以聽 我沒聽就是了...

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