lian
Lv 7
lian 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

高中數學-互質的概念

If (a,b)=1

then could I write down:

(a,a+b)=1

(b,a+b)=1

(ab,a+b)=1

Could I? Why?

4 個解答

評分
  • 1 0 年前
    最佳解答

    證明前需要幾個觀念

    1.因數和被數的線性組合

    如果a|b且a|c則 a|bm±cn (m.n適任意整數)

    2.公因數是最大公因數的因數

    3.if(a,b)=1 then(a^n,b^n)=1

    1. If (a,b)=1 then(a,a+b)=1

    設(a,b)=1 then(a,a+b)=d≠1 (d屬於正整數)

    d|a d|a+(a+b)=2a+b d|2a+b d|(2a+b)+(-b)=2a

    { =>{ =>{ =>{

    d|a+b d|a-(a+b)=-b d|-b d|(2a+b)-(-b)=2a+2b

    => d| (2a,2a+2b) (用到第2個性質把2提出來) =>d| (a,a+b)≠1

    由d| (a,a+b)≠1得知 假設是對的 所以 If (a,b)=1 then(a,a+b)=1 是錯的

    反而從d|2看出 d=1或2

    所以應該是if (a,b)=1 then(a,a+b)=1or2

    2. If (a,b)=1 then(b,a+b)=1

    同上

    3.If (a,b)=1 then(ab,a+b)=1

    設(a,b)=1 then(ab,a+b)=d≠1 (d屬於正整數)

    d|ab d|(a+b)×a-ab=a^2 d| a^2

    { =>{ =>{ =>d|(a^2,b^2)=1

    d|a+b d|(a+b)×b-ab=b^2 d| b^2

    由上証可知 d=1 和假設矛盾 故假設錯誤

    If (a,b)=1 then(ab,a+b)=1成立 得証

    so

    if(a,b)=1then (a,a+b)=1or2

    if(a,b)=1then (b,a+b)=1or2

    if(a,b)=1then (ab,a+b)=1

    2007-07-20 19:21:18 補充:

    抱歉 我的聯立壞了= =川

    我重寫

    1.

    設(a,b)=1 then(a,a+b)=d≠1 (d屬於正整數)

     d|a =>  d|a+(a+b)=2a+b => d|2a+b => d|(2a+b)+(-b)=2a

    {    {        {     {   

     d|a+b => d|a-(a+b)=-b   => d|-b  => d|(2a+b)-(-b)=2a+2b

    => d| (2a,2a+2b) (用到第2個性質把2提出來) =>d| (a,a+b)≠1

    由d| (a,a+b)≠1得知 假設是對的 所以 If (a,b)=1 then(a,a+b)=1 是錯的

    2007-07-20 19:24:24 補充:

    3.If (a,b)=1 then(ab,a+b)=1

    設(a,b)=1 then(ab,a+b)=d≠1 (d屬於正整數)

     d|ab  =>d|(a+b)×a-ab=a^2 =>d| a^2

    {  {              =>d|(a^2,b^2)=1

     d|a+b =>d|(a+b)×b-ab=b^2 =>d| b^2

    由上証可知 d=1 和假設矛盾 故假設錯誤

    If (a,b)=1 then(ab,a+b)=1成立 得証

    2007-07-28 12:53:15 補充:

    這就是你不了解or的意思了

    我是說or 又不是說end 所以沒錯

    參考資料: 老師教的
  • lian
    Lv 7
    1 0 年前

    給孤單的人:您舉的例子與題幹不符,(a,b)=1

  • 1 0 年前

    如果a|b且a|c則 a|bm±cn (m.n適任意整數)

    這個稱為整數表現定理

    第(1)(2)小題用這個証即可

    (1)pf:

    Let (a,a+b)=d

    --> d│a , d│a+b

    --> d│(-1)*a+(1)*(a+b) 也就是選m=-1, n=1

    --> d│b

    we have d│(a,b)=1

    then d=1

  • 1 0 年前

    第一位大大

    推導到

    if(a,b)=1then (a,a+b)=1or2

    我舉個例子 假如 a=4 b=2 (a,a+b)=2 但是 (a,b)不等於1 這樣你推導的東西不就是錯的

    2007-07-20 22:02:34 補充:

    第二位大大

    若要 (ab,a+b)≠1 a+b必須是 a或是b的倍數 這句話是錯的

    如果 a=9 b=15

    a+b=24 他不是 a 也不是 b 的倍數

    2007-07-20 22:12:14 補充:

    1. If (a,b)=1 then (a,a+b)=1 ??

    假設 (a,a+b)=d d不等於1

    則 a=dh

    a+b=dk (h,k)=1

    代入得到 b=d(k-h)

    所以(a,b)=d 跟 題目 矛盾 所以假設錯誤

    2. 同上

    3. If (a,b)=1 then (ab,a+b)=1 ??

    假設 (ab,a+b)=d d不等於1

    則 ab=dx

    a+b=dy (x,y)=1

    a=dy-b

    代入得到 dyb-b^2=dx

    b^2=d(yb-x)

    d|b^2 所以 d|b

    b=dy-a

    代入得到 dya-a^2=dx

    a^2=d(ya-x)

    d|a^2 所以 d|a

    所以(a,b)=d 跟 題目 矛盾 所以假設錯誤

    參考資料: 自己
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