? 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

關於因倍數及餘數的問題

1.a,b正整數,以5除a餘2,以5除a^2+b餘3,則以5除b之餘數為?

2.已知x為整數,且根號4x^2-59為正整數,則x=?

3.設n為正整數,且n^2+9n為完全平方數,則n有多少組解?

4.a.b為兩正整數,且(a,b)=1,試證(a±b,ab)=1

2 個解答

評分
  • YO
    Lv 5
    1 0 年前
    最佳解答

    1.

    設a=5k+2,可得a^2=5(...)+4

    又設b=5m+r,r=0,1,2,3,4,a^2+b=5(....)+(r+4)

    r+4=4,5,6,7,8,除以5餘3,故r+4=8,r=4

    2.

    4(x^2)-59=k^2

    (2x)^2-k^2=59

    (2x+k)(2x-k)=59,因為59是質數,且k是正整數,可得2x+k>2x-k

    可得2x+k=59,2x-k=1,或2x+k=-1,2x-k=-59

    解之得x=15或-15

    3.

    由題可設n^2+9n=m^2,m是正整數

    移項得n^2+9n-m^2=0,將其看為n的2次方程式解n

    因為n是正整數,判別式要等於完全平方數,否則n會變無理數

    81+4(m^2)=k^2,81=k^2-(2m)^2=(k+2m)(k-2m),又k+2m>k-2m

    可得k+2m=81,k-2m=1,或k+2m=27,k-2m=3

    得m=20或6,n=3或16

    4.因為(a,b)=1,得(a^2,b^2)=1

    先討論(a+b,ab)

    設(a+b,ab)=d,那麼可設a+b=Ad,ab=Bd,(A,B)=1且皆為正整數

    因此可得a^2=a^2+ab-ab=aAd-Bd=d(aA-B)

    同理可得b^2=d(bB-A),因此d是a^2,b^2的公因數,但從前面知道

    (a^2,b^2)=1,故d=1.即(a+b,ab)=1

    當(a-b,ab)時由上面過程知同理可證,只是加減變號

    參考資料: me
  • 1 0 年前

    1.a,b正整數,以5除a餘2,以5除a^2+b餘3,則以5除b之餘數為?

    a=5Q+2

    a2+b=(5Q+2)2+b

        =5(5Q2+4Q)+4+b

    餘數為3 → (4+b)/5=Q2。。。3

    (4+b)-3=5Q2

    b=5Q2-1   (-1的意思是:不足1)

    因為餘數不為0,所以-1+5=4

    以5除b之餘數為4

還有問題?馬上發問,尋求解答。