Lucas 發問時間: 教育與參考考試 · 1 0 年前

微積分mean-value theorem

Prove the mean-value theorem by Rolle's theorem

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    [Mean-value theorem]

    函數 f 定義在[a,b]且f'在(a,b)存在,則

    存在c屬於(a,b),使得,f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)

    (pf)

    定義函數

    f(b)-f(a)

    g(x)=f(x) –----------------x

    b-a

    f(b)-f(a)

    顯然g在[a,b]連續且g'(x)=f'(x) –------------------

    b-a

    因為g(a)=g(b)

    故利用Rolle's Theorem

    存在c屬於(a,b),使得g'(c)=0

    i.e.

    f(b)-f(a)

    存在c屬於(a,b),使得---------------=f'(c)

    b-a

    2007-09-07 11:21:28 補充:

    

    f(b)-f(a)

    存在c屬於(a,b),使得,f'(c)=---------------

    b-a

     f(b)-f(a)

    <=>存在c屬於(a,b),使得f'(c)- -------------

    b-a

    f(b)-f(a)

    <=>存在c屬於(a,b),使得{f(c)- ---------------x}'

    b-a

    2007-09-07 11:24:40 補充:

    Rolle's Theorem告訴我們一個事實

    如果函數f 定義在[a,b]且f'在(a,b)存在,而f(a)=f(b)

    則導函數f'在(a,b)有零根,i.e. f'(c)=0, c屬於(a,b)

    因此我們要利用這點來証上述的等式

    2007-09-07 11:27:43 補充:

    補充內容的第二行、第三行少打了

     f(b)-f(a)

    <=>存在c屬於(a,b),使得f'(c)- ------------- = 0

    b-a

    

    f(b)-f(a)

    <=>存在c屬於(a,b),使得{f(c)- --------------- x}' = 0

    b-a

    

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