C 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

數學平方問題怎麼算

( 1+ 1/x)^x=?

當x值越大 要怎麼算?

ex.(1+ 1/100)^100=?

(1+ 1/10000)^10000=?

(1+ 1/1000000)^1000000=?

請告訴我要用什麼公式解

別說用"手工"

這是微積分的問題= =

老實講我不知道該怎麼切入...

我的想法是:

(a+ b)^n≒a+ nb

但應該不是這樣吧ˊˋ?

1 個解答

評分
  • YO
    Lv 5
    1 0 年前
    最佳解答

    先用二項式定理展開

    [1+(1/x)]^x

    = 1 + (x/1!)*(1/x) + [x(x-1)/2!] * (1/x)^2 + [x(x-1)(x-2)/3!]*(1/x)^3..

    當x->∞ 原式會趨近

    1 + 1 / (1!) + 1/(2!) + 1/(3!) + 1/(4!) .....

    意即我們可以用這個級數來逼近x趨向無窮大的值

    再來

    先提到一個東西,若一數列有上限

    而且恆遞增,則此數列會收斂在某一值L(這很直觀,暫且當已知)

    於是我們可以先證明( 1+ 1/x)^x有上限

    因為[1+(1/x)]^x

    = 1 + (x/1!)*(1/x) + [x(x-1)/2!] * (1/x)^2 + [x(x-1)(x-2)/3!]*(1/x)^3..

    < 1 + 1/(1!) + 1/(2!) + 1/(3!) + 1(4!).....

    < 1 + 1 + 1/(1×2) + 1/(2×3) + 1(3×4) + 1(4×5).....

    = 1 + 1 + [1 - (1/2)] + [(1/2) - (1/3)] + [(1/3)-(1/4)] + [(1/4)-(1/5)]..

    = 3

    因此 [1+(1/x)]^x 有上限 3

    又由算幾不等式,先令1+(1/x) = a

    (a+a+a....+1)/(x+1) > (a^x)^[1/(x+1)]

    整理可得[1+(1/x)]^x <[1+(1/(1+x))]^(x+1)

    即原數列嚴格遞增

    故原式當x趨向無窮大,有一極限值L

    經由一些微積分的方法,我們可以發現他跟更之前利用

    y=(1/x)曲線下跟x軸[1,e]區間所夾的面積=1

    所定義出來的e是一樣的值,於是他會等於e,後來也可以說

    變成另外一種e的新定義

    注意e這個東西是由上述數列或面積的方法所創造出來的常數,

    別問說為啥他是e,我們在乎的是如何算出他的值

    就像圓周長跟直徑的比值叫π,是我們定義他叫π

    然後用一些方法去算出π的值

    寫的有點草率,若有疑問請再補充提出

    參考資料: me
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