路人唷 發問時間: 科學工程學 · 1 0 年前

工數 問題~及 求助~^^”

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1.dy/dx+y=x-1/x^2

2.y'+(1/x-2)*y=3x ; y(3)=4

3.(x^2-2x)y'+(x^2-5x+4)y=(x^4-2x^3)e^-x ;y(3)=18e^-3

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  • 1 0 年前
    最佳解答

    (1)

    y'+y=x-1/x^2

    積分因子

    I=EXP(對1積分)

    I=EXP(X)

    y=1/I[對I*(x-1/x^2)積分]

    y=exp(-x)[對exp(x)*(x-1/x^2)積分]

    y=exp(-x)[x*exp(x)-exp(x)+c+對-exp(x)*(1/x^2)積分]

    y=x-1+c*exp(-x)+exp(x)*對-exp(x)*(1/x^2)積分

    (-exp(x)*(1/x^2)無法積分直接寫)

    (2)

    y'+(1/x-2)y=3x

    積分因子

    I=exp(對1/x-2積分)

    =exp(ln(x-2))

    =x-2

    y=1/I[對I*3x積分]

    =1/x-2[對(x-2)*3x積分]

    =1/x-2[x^3-3x^2+c]

    =x^2(x-3/x-2)+c/x-2

    代入y(3)=4

    4=c

    y=x^2(x-3/x-2)+4/x-2

    (3)

    (x^2-2x)y'+(x^2-5x+4)y=(x^4-2x^3)e^-x

    同除(x^2-2x)

    y'+(x^2-5x+4/x^2-2x)y=[x^3*(x-3)*exp(-x)/x*(x-2)]

    y'+(1+(-3x+4/x*(x-2))y=x^2*exp(-x) (-3x+4/x*(x-2) =-2/x+-1/x-2)

    積分因子

    I=exp(對1+-(2/x)+-(1/x-2)積分)

    =exp(x-2lnx-ln(x-2))

    =exp(x)*(1/x^2)*(1/x-2)

    y=1/I[對I*x^2*exp(-x)積分]

    =(x^2*(x-2)*exp(-x))[對exp(x)*(1/x^2)*(1/x-2)*x^2*exp(-x)積分

    =(x^2*(x-2)*exp(-x))[對1/x-2積分]

    =(x^2*(x-2)*exp(-x))[ln(x-2)+c]

    代入y(3)=18e^-3

    18exp(-3)=9*exp(-3)*c

    c=2

    y=(x^2*(x-2)*exp(-x))[ln(x-2)+2]

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