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匿名使用者 發問時間: 科學數學 · 1 0 年前

線性代數的證明問題

Prove the number of solutions of a system of linear equations must be one

of the following cases

(a)

Exactly 1 solution

(b) I

n…nite number of solutions

(c)

No solution

只要稍微說一下要用什麼方法怎麼證明就可以了

已更新項目:

to :* 喃小飄 × piew 〞

第二點中哪裡可以看出只有一解或無解啊????? 囧.....

1 個解答

評分
  • YO
    Lv 5
    1 0 年前
    最佳解答

    原題目等於只要證明這個線性方程式系統不會"恰"有相異k解

    k≥2,k屬於N且是有限數

    1.若原系統中所有方程式常數項皆為0,顯然所有變元都是0

    必為一解,即(0,0,0....,0)必為一解,又如果存在另一個相異解

    (X1,X2,X3,.....Xm)則不難知 t (X1,X2,X3,.....Xm),t是任意實數

    也會是這個線性系統的解,因此若存在一相異解,則可以得到

    無窮多解,故常數項皆為0的線性系統其解有兩種,

    一解(0,0,0,..0)或無窮解,不可能"恰"有k解,k≥2

    2.若原線性系統有一方程式其常數項不為0,則

    顯然(0,0,0...0)不會是他的解,解設他"恰"有k個相異解,k≥2

    ,我們從其中任取兩個出來,令第一解叫P1=(X1,X2,......,Xm)

    ,第二解叫P2=(Y1,Y2,.......Ym),因為這兩解相異

    這兩解相減不會是(0,0,0...,0)

    又因為對系統裡任意一個方程式Q來說,Q(P1)-Q(P2)=0

    於是P1 + t (P1-P2),t 是任意實數,也是此方程式的解

    因此對這種線性系統來說有可能無解或一解或無窮解,

    不可能恰k解,k≥2

    3.綜合以上,一個線性系統只可能零個解(無解),一解,

    或無窮多解,這正是題目要證明的

    2007-10-09 22:42:40 補充:

    題目的意思是說

    任意一個線性方程式系統其解只有可能有三種情況

    1.一解 2.無窮多解 3.無解

    因此我們要證明的是

    2相異解,3相異解,4相異解.....k相異解是不可能的

    至於這個線性系統的答案是無解還一解還無窮多解

    不是題目的重點,

    從第一,第二點中可以知道

    所有的線性系統不可能有相異2,3,4...k解

    這說明了線性系統只可能有1解,無解,或無窮解

    因此您說的從第二點中怎麼知道他有一解或無解

    那不是題目的重點,他可能無解或有一解

    判定準則可由所有係數決定,但我們不必討論

    因為都有可能發生,我們要確認的是恰有2,3,4,5..解是不可能的

    參考資料: me
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